560_Dmitrieva_o._E._Sbornik_zadach_1semestr_

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

x n 1 1 n ;

.pdf

Скачиваний:

229

Добавлен:

12.11.2022

Размер:

1.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

3n2 2n 1

Решения:

a) lim

lim

;

7n2 2

б) lim

lim

n 5 n

n 5

n 5 n

n 5

lim

n 5

Понятие предела функции.

Число b называется пределом функции

y f (x)

при

x x0 (в точке x0 ) –

это записывается как

lim f x b , если для любого малого числа 0 можно

x x0

указать

такое

малое

число

( ) 0 ,

что для

всех

x ,

удовлетворяющих

неравенству | x x0 | , выполняется неравенство |

f x b | .

Из этого определения следует:

1) закон стремления аргумента x к x0

безразличен;

2)число x0 может не входить в область определения функции y f (x) ;

3)число b - значение предела – может не входить в область значений функции y f (x) .

Приемы нахождения пределов функций аналогичны приемам нахождения предела последовательности.

3.1. Записать первые пять членов последовательности:

а)	x				3n 5				;	б)	x		1 1 n								1	.
а)	x	n			2n 3				;	б)	x	n	1 1 n									.
		n										n									n
																					n
3.2. Написать формулу общего члена последовательности:
а) 2 ,			4	,		6	,	8	, …;	б)	3,			5	,	7	,		9	,			11		, …
а) 2 ,				,			,		, …;	б)	3,				,		,			,					, …
			3	5				7					3			5		7					9
																		2n
3.3. Найти				предел					последовательности															и	установить, начиная с
3.3. Найти				предел					последовательности															и	установить, начиная с
																n 2

какого номера все члены последовательности попадают в - окрестность точки предела, 101 .

Вычислить пределы последовательностей:

3.4. lim

5n 1

; 3.5.

lim

9n2 8n 1

; 3.6.

lim

n2 2n

;

7 9n

6 15n2

n n3

2n 1

1 2n

3.7. lim

; 3.8.

lim

;

5n 7

2 5n

3.9. lim

;

n3 2n 1

n 2

n 1

3.10.

lim

n 2

Найти пределы функций:

3.11. lim

x2 3x 2

;

3.12.

lim

x3 2x

2 3x 1

;

3.13. lim

3x 2

;

x2 1

2x 1

x 0

x 1

x2 2x 1

3.14. lim

;

3.15.

lim

x 1 2

;

3.16 . lim

8 x

x3 x

x 5

x 1

x 5

x 0

Домашнее задание.

3.17. Записать первые пять членов последовательности:

3.18. Написать формулу общего члена последовательности:

a)	1		,	3		,	5	,	7		,	9			, … б)			1	,	1	,		1	,	1	,	…
a)			,			,		,			,				, … б)				,		,			,		,	…
	4			6			8		10		12							2		3			4		5
Вычислить пределы последовательностей:
3.19. lim		n 1				;	3.20. lim						3n2 7n 1				;
3.19. lim						;	3.20. lim						2		5n 6n2		;
n 3n										n			2		5n 6n2
		n 2 3 n 2 3																				n .
3.21. lim		n 2 3 n 2 3													;	3.22. lim			n2	7		n .
n					95n3			39n								n
Найти пределы функций:
3.23. lim		x2		3			; 3.24.				lim			x		2 4x 4	;

		x2		3												x3 4x
x 3		x2		3							x 2					x3 4x
																	12


				9x
3.25.	lim	7x3			; 3.26. lim	x 1	3	.
			2 5x3			x 10
	x 4x2				x 10

Занятие 4.

Предел функции. Первый и второй замечательные пределы.

Вследствие наличия многочисленных приложений следующие пределы называют замечательными:

lim	sin x	1- первый замечательный предел,
lim	x	1- первый замечательный предел,
x 0	x
		1				1	y
		1				1
lim	1 x			e или	1		e - второй замечательный предел.
			x
			x
					lim
x 0					y	y

Здесь e 2,72 - трансцендентное число Непера.

Некоторые модификации первого замечательного предела:

lim

tg x

lim

arcsin x

lim

arctg x

x 0

Некоторые модификации второго замечательного предела:

lim

1 x

lim

x 0

При вычислении некоторых пределов этого занятия используются

следующие формулы тригонометрии:

1 cos 2 2sin 2

cos cos 2 sin

sin

Пример 1. Вычислить: lim

sin 9x

x 0

sin 9x

9x y

sin y

Решение.

lim

x 0

lim

x 0

y 0

2 y 0

Пример 2. Вычислить: lim

x 0

Решение.		lim		arctg 5x
					x
		x 0
5 lim			y		cos y


	y 0 sin y

	arctg 5x		.

	x
	x
					arctg 5x y
	5 lim	arctg 5x			5x tg y
	5 lim				x 0
	x 0		5x		x 0
					y 0
5 lim			y	lim cos y 5.


	y 0 sin y			y 0

5 lim	y


y 0 tg y

3 x 1 x

Пример 3. Вычислить: lim . x 3x 1

Решение.

3 x 1 x lim x 3x 1

	3 x 1	x		3 x 1 3x 1 x
lim 1		1	lim 1
	3x 1			3x 1
x			x

2 x

3x 1

3x 1 y

3x 1

lim

3x 1

y 0

2 x

3x 1

lim

lim 1

3x 1

e 3 .

y 0

Вычислить пределы функций:

4.1. lim

sin 3x

;

4.2.

lim

;

4.3.

lim

arcsin 7x

;

x 0

x 0 tg 7x

x 0

4.4. lim

arctg 2x

;

4.5.

lim

1 cos 2 x

;

4.6. lim

cos x cos x

;

x 0 arcsin 5x

x 0

x 1 2 x 1

2x 1 x

4.7. lim

;

4.8.

lim

;

4.9.

lim

;

x x

2x 3

4.10. lim

ln 1 5x

;

4.11. lim x ln x a ln x ;

4.12. lim

ln x 1

;

x e

x 0

x e

4.13. lim

a x 1

x 0

Домашнее задание .

Вычислить пределы функций:

4.14.

lim

arctg11x

;

4.15.

lim

arcsin 2 x

;

4.16.

lim

1 cos 6 x

; 4.17.

tg8x

1 cos 4x

x 0

lim 1

;

3 x

2 x 3

ln 1 x

4.18. lim

;

4.19. lim cos 2x

;

4.20. lim

;

x 0

4.21. lim	log	5	1 2x	; 4.22. lim	e2 x 1	.

			x		x
x 0				x 0

Занятие 5.

Бесконечно малые. Сравнение бесконечно малых. Бесконечно большие.

Функция (x) называется бесконечно малой при x x0 , если lim (x) 0
					x x0
( x0 - любое действительное число или ∞).
При сравнении двух бесконечно малых (x)				и (x) (при x x0 ) рассматривают
предел их отношения	lim	(x) C , при этом возможны случаи:
	x x0	(x)
1) если C 0 -	конечное число,		то	(x) и	(x) называют бесконечно
малыми одного порядка, обозначение: (x) 0 ( (x) );
если C 1, бесконечно малые			(x)	и (x)	называют эквивалентными,

обозначение (x) ~ (x) ;

при нахождении предела отношения двух бесконечно малых данные функции можно заменять на эквивалентные,например, при x 0 sin x ~ x , tgx ~ x ,

arcsin x ~ x , arctgx ~ x , ln(1 x) ~ x , ax 1 ~ x ln a ;

2)если C 0 , то (x) называется бесконечно малой высшего порядка (более высокого порядка), чем (x) , обозначение (x) = о( (x) ); тогда (x) называется бесконечно малой низшего порядка, чем (x) ;

3)если C , то (x) - низшего порядка, чем (x) ; соответственно,

тогда (x) - высшего порядка, чем (x) : (x) = о( (x) );

4) если lim	(x)	C 0 , C - конечное число, k 0 - действительное

	(x) k
x x0	(x) k
число, то	(x) называют бесконечно малой k - го порядка
относительно бесконечно малой (x) , обозначение (x) = 0 ( k (x) ).
Функция A x называется бесконечно большой при			x x0 , если	lim A(x) (
				x x0

или ). Сравнение бесконечно больших и их классификация вводятся аналогично тому, как это делается для бесконечно малых.

	1 x
5.1. Убедиться, что при x 1 бесконечно малые величины	1 x	и 1 3 x
одного порядка малости. Будут ли они эквивалентными?
15

Определить порядок малости бесконечно малой (x) относительно бесконечно малой (x) x при x 0:

5.2. (x) 3 x3 ; 1 x

5.3. (x) 3 x2 x3 ;

5.4. (x) 1 cos x ; x

5.5. (x) sin x 2 2 ;

5.6. (x) 31 3 x 1;

5.7. (x) 2x2 1; .

Доказать, что разность функций f1 (x) f2 (x) имеет 2-ой порядок малости

относительно

x при

x 0, если:

5.8. f1 (x)

(x) 1 x;

5.9.

f (x)

a2 x ,

(x) a

x (a 0) .

Используя эквивалентность бесконечно малых, вычислить пределы:

5.10. lim

ln(1 x)

;

x 0

sin 2x

5.11. lim

1 x

;

lg x

x 1

5.12. lim

1 cos4x

x 0

2sin 2 x xtg7x

5.13. При x 1 функции

1 x

и y 1 x

- бесконечно малые.

1 x

Какая из них высшего порядка малости ?

5.14. Определить порядок роста бесконечно большой

A(x) относительно

B(x) x при

x : A(x) x3 150x 10 .

Домашнее задание.

Определить порядок малости бесконечно малой (x) относительно бесконечно малой (x) x при x 0:

5.15. (x) tgx sin x ;

5.16.(x) 1 cos2x2 ;

5.17.(x) 1 2x 1 x ;

5.18.(x) 3 x 1.

Вычислить пределы, пользуясь эквивалентностью бесконечно малых

5.19.

lim

4x2 1

;

arcsin(1

2x)

5.20.

lim

arctgx

;

x 0 arcsin3x sin

arcsin

5.21. lim

9 x2

;

x 0

5.22. lim

tg 2 x

x 0 ln 1

5.23. Определить порядок роста бесконечно большой A x относительно x при

x : A(x) 3x6 13x2 . 2 x3

Занятие 6.

Непрерывность функции в точке и на интервале.

Точки разрыва.

Функция y f x называется непрерывной в точке x0 , если она

определена в некоторой окрестности точки x0 и в самой этой точке и предел
функции в этой точке равен значению функции в этой точке
lim	f x f x0		(1).
x x0
Эквивалентные этому определения:
lim			(2)
lim	f x f lim	x ,	(2)
x x0	x x0
lim f 0			(3)
x 0
			17

x b слева.

(бесконечно малому приращению аргумента x x x0		в окрестности точки
непрерывности	x0 соответствует бесконечно малое	приращение функции
f f x f x0 ) .

Еще одно часто используемое определение непрерывности, эквивалентное первым трем, дается через понятие односторонних пределов:

левосторонний предел	lim f x		lim	f x f x0 0
x x0 , x x0		f x	x x0 0	f x f x0	0 .
правосторонний предел	lim		lim
x x0 , x x0			x x0 0
Функция называется в точке x0		непрерывной слева, если			f x0	0 f x0 .
Функция называется в точке x0		непрерывной справа, если f x0 0 f x0 .
Функция называется непрерывной в точке x0 , если
f x0 0 f x0 0 f x0		(4).
Функция непрерывна на	открытом		интервале a,b ,		если	она непрерывна в

каждой точке этого интервала.

Функция непрерывна на замкнутом интервале a,b , если она непрерывна на a,b , непрерывна в точке x a справа и в точке

Точками разрыва функции называют:

1) принадлежащие области определения точки, в которых функция не имеет свойства непрерывности;

2) не принадлежащие области определения точки, которые являются общей границей двух примыкающих друг к другу промежутков, принадлежащих области определения: a,b b,c (точка b - так называемая выколотая точка области определения).

Точки разрыва подразделяют на 2 типа:

Разрывы 1-го рода (разрывы с конечным скачком):

1) f x0 0 f x0 0 - пределы слева и справа в точке x0 конечны и не совпадают:

величину s f x0 0 f x0 0 называют скачком функции в точке x0 ; в

точке x x0		функция при этом может быть определена или не определена; если
f x0	f x0	0 f x0	0	, то такой разрыв 1 рода называют правильным;
		2

2) f x0 0 f x0 0 f x0 - пределы слева и справа конечны, равны, но не равны значению функции в точке x0 (в этой точке функция может быть определена или не определена)

Этот вид разрыва 1 рода называют устранимым: новая функция
~	f x	, x x0
f	x		0 f x 0 , x x
	f x	0	0 f x 0 , x x
		0	0	0

непрерывна в точке x0 .

Разрывы 2 рода: если хотя бы один из односторонних пределов в точке x0 не

существует или равен . Примеры разрывов 2 рода:

a)	y		1	,	x c - точка разрыва 2

		x c 2
рода:
	1

б)	y e x ,		x 0		- точка разрыва 2

рода:

в) y sin	1	, x 0 - точка разрыва 2 рода, lim sin		1	не существует.
				x
	x		x 0
Для исследования функции			y f x на разрывы в точках, подозрительных на
точки разрыва, находятся односторонние пределы					lim f x	и lim f x ,
					x x0 0	x x0 0
сравниваются и в случае равенства сравниваются со значением f						x0 .

Исследовать функции на непрерывность и указать характер точек разрыва. В случае устранимого разрыва доопределить функцию:

	x2				2x 3,			x 1
		,	x 2
		,	x 2
6.1. f x	2			;	6.2. f x	1		;
	x 2						, x 1
							, x 1
x,					x
					19

	x,	x 1		x,	x 1
		1 x 2 ;			1 x 2
6.3. a)	f x x2 ,	1 x 2 ;	б)	f x x2 ,	1 x 2	;
	2x,	x 2		2x,	x 2


		3x,	x 0,				,
				2
						3
в) f x						3
		ctg x,	x	,					,
		ctg x,	x	,					,
			2				2
			3
		cos x,	x					,2
		cos x,	x					,2
				2
				2
1					3x 5
1					3x 5
6.4. f x		; 6.5. f x								;

	x 3				3x 5

;

6.6. f x 1 ; x2 x 1

6.8. f x

6.7. f x

;

; 6.9.

f x 5 x

;

x 4 2

6.10. f x

;

6.11. f x

x 1

при

a 0,

a 5 ;

ax 4

21 x

6.12. f x

1 cos2x

; 6.13. f x

4 x 2

Домашнее задание.

Исследовать функции на непрерывность и указать характер точек разрыва. В случае устранимого разрыва доопределить функцию.

6.14. f x 3	x		6.15. f x

	4 x2	;
2x		,	1 x 1
			1 x 4 ;
6.17. f x x 1,

x, x 4

x 1	;	6.16.				f x			2 2cos x		;
x2 5x 4	;	6.16.				f x			5x2		;
x2 5x 4									5x2
								x
		cos x,					2	x		4
							2			4

6.18. f x		1,		x							;
						4
						4
			2			,			x
		x	2			,			x
					2
				16			4

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.11.20221.4 Mб3553_Innovatsii_i_nauchno-tekhnicheskoe_2013_.pdf
#
12.11.20228.53 Mб4555_Innovatsii_inauchno-tekhnicheskoe_tvorchestvo_molodezhi2014_.pdf
#
12.11.202219.03 Mб8556_Sovremennye_problemy_telekommunikatsij_2014_.pdf
#
12.11.20223.44 Mб2557_Obrabotka_informatsii_i_matematicheskoe_modelirovanie_2014_.pdf
#
12.11.20222.91 Mб2558_Obshchestvo,_politika,_finansy_2014_.pdf
#
12.11.20221.97 Mб229560_Dmitrieva_o._E._Sbornik_zadach_1semestr_.pdf
#
12.11.2022398.59 Кб3561_Kontrol'nye_raboty_po_predmetu_fizcheskoe_vospitanie_.pdf
#
12.11.2022669.49 Кб1562_Balabanova_l._A._Nemetskij_jazyk_.pdf
#
12.11.2022471.06 Кб1563_Filosofija._Uchebnaja_programma_i_plany_.pdf
#
12.11.2022377.13 Кб2564_Logutova_m._A._Sotsiologija_sem'i_.pdf
#
12.11.20221.45 Mб8565_Poljakov_a._JU.Programmirovanie_.pdf