2) Синтез пид-регулятора

Передаточная функция регулятора примет вид:

Где – дифференциальный коэффициент, – коэффициент фильтрации.

Запишем ПФ разомкнутого контура:

Изображения воздействие найденные в предыдущем пункте:

Запишем ПФ замкнутого контура по ошибке от задающего, а также возмущающего воздействий:

Запишем изображение ошибки данного контура:

Установившаяся ошибка может быть определена с использованием теоремы о конечном значении оригинала во временной области, т. е.

Установившаяся ошибка будет равна 0 при любых коэффициентах P, N, I отличных от нуля.

Рассмотрим частотные и временные характеристики системы с ПИ-регулятором, зададимся параметрами регулятора .

Частотные характеристики определим при помощи средства MATLAB. Запишем ПФ замкнутой системы:

Рис. 6. Переходная Характеристика СУ с ПИД-регулятором.

Рис. 7. ЛАЧХ и ЛФЧХ СУ с ПИД-регулятором.

Рис. 8. АФХ СУ с ПИД-регулятором.

Оба регулятора обеспечивают нулевую установившуюся ошибку и системы с этими регуляторами обладают схожими частотными характеристиками. По переходным процессам можно заметить, что ПИ-регулятор обеспечивает меньшее время переходного процесса, но большее перерегулирование (и недорегулирование) по сравнению с ПИД-регулятором.

Рис. 9. Сравнение ПХ СУ с ПИД-регулятором с СУ с ПИ-регулятором.

3) Синтез пид-регулятора с наименьшим перерегулированием.

Определим параметры ПИД-регулятора при наименьшем перерегулировании в системе.

Применим средство PID-Tuner программного пакета Simulink. Поскольку рассматриваем перерегулирование, то будем настраивать регулятор при помощи временных характеристик (Time Domain). На величину перерегулирования влияет только ползунок Transient Behavior. Таким образом выставив ползунок на значение Robust, получим наименьшие перерегулирование в 10.2%.

В таблице ниже указаны запасы по амплитуде (Gain margin) и по фазе (Phase margin). Запасы по амплитуде и по фазе равны (минус бесконечность, поскольку фазовая характеристика не пересекает значение ), по фазе 90 градусов (т.к. ЛАЧХ начинается с нулевого значения).

Рис. 10. Параметры ПИД-регулятора с наименьшим перерегулированием.

Воспользуемся Model Linearizer, что определить частотные, временные и корневые характеристики:

Рис. 11. ПХ при наименьшем перерегулировании ПИД-регулятора.

Рис. 12. ЛАЧХ и ЛАФЧХ системы с ПИД-регулятором, имеющим наименьшее перерегулирование.

Рис. 13. Карта нулей и полюсов системы с ПИД-регулятором, имеющим наименьшее перерегулирование.

Степень устойчивости данной системы можно определить по карте нулей и полюсов, она равна расстоянию от мнимой оси до ближайшего корня ХП (полюса):

Так как мнимые корни отсутствуют колебательность равна 0.

4) Синтез пид-регулятора с наименьшим временем регулирования в системе.

Определим параметры ПИД-регулятора при наименьшем времени регулировании в системе.

Применим средство PID-Tuner программного пакета Simulink. Поскольку рассматриваем время регулирования, то будем настраивать регулятор при помощи временных характеристик (Time Domain). На величину времени регулировании влияет только ползунок Response Time. Таким образом выставив ползунок на значение Faster, получим наименьшие время регулирования в 1.24сек.

Рис. 14. Параметры ПИД-регулятора с наименьшим временем регулирования.

Рис. 15. Переходная характеристика ПИД-регулятора с наименьшим временем регулирования.

Рис. 16. ЛАЧХ и ЛФЧХ ПИД-регулятора с наименьшим временем регулирования.

Рис. 17. Карта нулей и полюсов ПИД-регулятора с наименьшим временем регулирования.

Степень устойчивости данной системы можно определить по карте нулей и полюсов, она равна расстоянию от мнимой оси до ближайшего корня ХП (полюса):

Колебательность для пары комплексно-сопряженных корней вычисляется как отношение мнимой и вещественной частей корня (по модулю): .

Вывод: в результате выполнения задания было получено математическое описание объекта управления. Мы определили параметры ПИ- и ПИД-регуляторов, при котором наша система воспроизводит воздействие с нулевой установившейся ошибкой, как оказалось для этого, коэффициенты регуляторов должны быть отличны от 0. В результате сравнительного анализа было установлено что реализация ПИД-регулятора обладала большей длительностью переходного процесса, и меньшим перерегулированием по сравнению с ПИ-регулятором. Далее для ПИД-регулятора были подобраны параметры, чтобы реализовать минимальное перерегулирование в первом случае и минимальное время регулирования в другом, при этом ЛАЧХ не пересекает значения нуля в обоих случаях (вследствие того, что выходной сигнал всегда меньше входного в 1.5 раза из-за наличия ПФ обратной связи, имеющая такое усиление) ЛФЧХ не пересекает . Уменьшение времени регулирования приводит к увеличению степени устойчивости.

Задание 2