Физика [РТФ, Браже & Долгов, 1 семестр] / 178

Средняя мощность рассеяния, с учетом сделанного в § 1 допущения о пропорциональности силы сопротивления скорости (на примере механических колебаний),

PS = −FS x = r x2 = 2βmω2 A02 e−2βt sin2 (ω0t +ϕ0 ) .

Вслучае слабого затухания показательная функция изменяется значительно медленнее, чем квадрат синуса, что позволяет вывести ее за знак усреднения, а среднее за период значение квадрата синуса равно 1/2. Поэтому

PS = 2βmω2 A02e−2βt 12 = 2β 12 kA2 (t) = 2βE.

Тогда выражение (9.10) можно представить в виде

т. е. в случае слабо затухающих колебаний добротность колебательной системы пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой за время, в течение которого их амплитуда убывает в «е» раз.

Типичные значения добротности некоторых колебательных систем представлены в табл. 9.2.

Таблица 9.2

Добротность некоторых колебательных систем

Вынужденные колебания

Вынужденными колебаниями называют такие колебания,

которые происходят под действием внешней периодически изменяющейся вынуждающей силы.

Если вынуждающая сила изменяется во времени по гармоническому закону:

F = F0 cosωst ,

где ωs – частота вынуждающей (стимулирующей) силы, то в случае слабого затухания уравнение динамики для механической колебательной системы можно записать в виде

mx = −kx −rx + F0 cosωst

или, после деления на коэффициент при старшей производной,

где β = r / (2m) , ω0 = k / m , f0 = Fm0 .

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (9.12), как доказывается в математике, складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения (когда правая часть равна нулю) и частного решения данного неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения, как было показано в § 1, представляет собой затухающие колебания вида (9.2). Его вклад играет заметную роль лишь на начальной стадии процесса, когда колебания еще не установились. С течением времени, вследствие затухания, роль этого слагаемого все более уменьшается,

и установившиеся колебания описываются лишь частным решением уравнения (9.12). Как доказывается в математике, оно имет вид