Физика [РТФ, Браже & Долгов, 1 семестр] / 178

Такой шарик может совершать механические колебания как в горизонтальном (x), так и в вертикальном (y) направлении с частотой ω0 = k / m. Пусть уравнения этих колебаний имеют вид

т. е. начальные фазы колебаний подобраны таким образом, что их разность равна начальной фазе вторых колебаний.

Из уравнения (8.13) можем найти

Из уравнения (8.14) с учетом (8.15) получаем

Последнее выражение легко привести к виду

Проанализируем возникающие здесь частные случаи.

1. ∆ϕ = 0. В этом случае (8.16) сводится к уравнению прямой, проходящей через I и III квадранты (см. рис. 8.4):

x

Рис. 8.4. Результат сложения взаимно перпендикулярных колебаний

одинаковой частоты

2. ∆ϕ = ±π. Теперь из (8.16) получается уравнение прямой, проходящей через II и IV квадранты:

3. ∆ϕ = ±π / 2. При такой разности фаз складываемых колебаний (14.16) дает уравнение эллипса, приведенного к координатным осям:

На рис. 8.4 представлены все рассмотренные выше частные случаи движения шарика, участвующего в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты. В общем случае, если

∆ϕ ≠ 0, ±π , ±π / 2, шарик будет двигаться по эллипсу, уравнение которого задается формулой (8.16) для конкретного значения ∆ϕ . Направление вращения (по часовой стрелке или против часовой стрелки) определяется начальными условиями задачи.

Фигуры Лиссажу

Французский ученый Ж. А. Лиссажу исследовал сложение взаимно перпендикулярных колебаний, отношения частот которых являются рациональными числами, т. е. ω1 / ω2 = p / q , где p и q – целые числа. Иначе говоря, вместо (8.13), (8.14) складываются взаимно перпендикулярные колебания следующего вида:

Не вдаваясь в детали, отметим, что при ∆ϕ =π / 2 в этом случае получаются замкнутые периодические движения с периодом T0 , равным наименьшему кратному из периодов T1 = 2π / ( pω) и T2 = 2π / (qω) складываемых колебаний. На рис. 8.5 показаны некоторые из таких кривых, называемых фигурами Лиссажу. При их п о- строении придерживаются следующего правила: отношение частот складываемых колебаний обратно отношению чисел пересечений кривой с осями координат, т. е.

p = Ny . q Nx

x

A2

в

Рис. 8.5. Примеры фигур Лиссажу

Для случаев, изображенных на рис. 8.5, p / q = 4 / 2 = 2 /1 (a), p / q = 2 / 6 =1/ 3 (б), p / q = 6 / 8 = 3 / 4 (в) соответственно.

Отметим, что чем ближе к единице рациональная дробь, выражающая отношение частот колебаний, тем сложнее оказывается фигура Лиссажу. При p / q =1 мы возвращаемся к рассмотренному в § 3 частному случаю фигур Лиссажу – результату сложения взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты.

Тогда, в соответствии со вторым правилом Кирхгофа, сумма падений напряжения на конденсаторе и резисторе должна равняться ЭДС самоиндукции в катушке:

где β = R / (2L) , а ω0 =1/ LC, как и выше, обозначают соответственно коэффициент затухания и циклическую частоту незатухающих колебаний (теперь уже заряда на обкладках конденсатора). По аналогии с (9.2) уравнение затухающих колебаний в рассматриваемом колебательном контуре имеет вид

где Qm0 теперь обозначает начальную амплитуду, а ω = ω02 − β2 , как и прежде, циклическую частоту затухающих колебаний ( β <ω0 ).

Уравнения (9.1) и (9.3), равно как и их решения (9.2) и (9.4), математически эквивалентны. Между ними существует глубокая физическая аналогия, отраженная в табл. 9.1, что позволяет представить дифференциальное уравнение затухающих колебаний в обобщенной форме:

Таблица 9.1

Аналогия в описании механических и электромагнитных колебаний

Как видно из табл. 9.1, индуктивность в электромагнитных процессах играет ту же роль, что и масса в механических явлениях – это мера инерции системы: согласно правилу Ленца, ЭДС самоиндукции (тем бóльшая, чем больше индуктивность) всегда действует таким образом, чтобы препятствовать причине, ее вызывающей. Величина, обратная емкости конденсатора, аналогична жесткости пружины или коэффициенту квазиупругой силы, возвращающей систему к положению равновесия. Активное сопротивление аналогично коэффициенту сопротивления среды.

На рис. 9.3 представлены графики затухающих механических колебаний (для случая β <ω0 ) и апериодического затухания (для случая β ≥ω0 ).

Рис. 9.3. Графики затухающих колебаний (а) и апериодического затухания (б).

Случаи 1 и 2 отличаются величиной затухания: в первом случае система может совершить однократный переход через положение равновесия, а во втором – затухание настолько велико, что система не успевает совершить даже одного полупериода колебаний.

Характеристики затухающих колебаний

Наряду с коэффициентом затухания β для количественного описания величины затухания в теории колебаний используется ряд других характеристик.

Как следует из (9.2), (9.4), (9.6), отношение двух последовательных амплитуд, отличающихся по времени на один период колебаний,

Эта величина называется декрементом колебаний (от лат. decrementum – уменьшение), а ее логарифм – логарифмическим декрементом колебаний:

уменьшается в «e» раз. Такое время принято называть временем релаксации колебательной системы. Используя время релаксации, выражение (9.8) можно переписать в виде

где Ne – число колебаний, за которое амплитуда убывает в «e» раз. Часто пользуются также понятием добротность колебательной

системы. Эта величина представляет собой умноженное на 2π отношение энергии, запасенной в системе, к средней энергии потерь за период колебаний (т. е. к средней рассеиваемой мощности, умноженной на период колебаний):