Физика [РТФ, Браже & Долгов, 1 семестр] / 178
.pdf
Физический маятник
Под физическим маятником понимают произвольное твердое тело, совершающее колебания в поле силы тяжести относительно точки подвеса, расположенной выше его центра масс.
На рис. 7.2 изображен такой маятник. В идеале – это абсолютно твердое тело. Поэтому его момент инерции I = const и расстояние от точки подвеса до центра масс d = const . Движение центра масс маятника описывается основным уравнением динамики вращательного движения:
Iε = M , |
(7.7) |
где ε =α – угловое ускорение, M = −mgd sinα – момент действующей силы (веса). Знак «минус» здесь выражает тот факт, что этот момент силы стремится вернуть отклоненный маятник в положение равновесия. Иными словами, направления вектора M и вектора углового смещения dα противоположны (см. рис. 7.2). В результате урав-
|
|
нение (7.7) принимает вид |
|||
d |
О |
dα |
α + |
mgd |
sinα = 0. |
M |
α |
I |
|||
|
При малых углах отклонения маят- |
||||
C |
|
ника от |
положения равновесия |
||
|
sinα ≈α , |
дифференциальное урав- |
|||
|
|
||||
нение колебаний физического маятника можно записать в виде
mg 
α +ω02α = 0, |
(7.8) |
Рис. 7.2. Физический маятник |
где ω0 = |
mgd / I |
. |
Соответственно решение уравнения (7.8) – уравнение гармонических колебаний физического маятника – имеет вид
α = Acos(ω0t +ϕ0 ) , |
(7.9) |
где ω0 – циклическая частота колебаний, а их период
T = 2π |
|
I |
|
. |
(7.10) |
|
|||||
|
|
mgd |
|
||
Предельным случаем физического маятника является рассмотренный нами выше математический маятник. Действительно, если тело маятника вырождается в материальную точку массой m, то d = l , т. е. длине математического маятника, а I = ml2 . Тогда ω0 = 
g / l , а
T = 2π 
l / g . Последнее выражение представляет собой известную вам из школьного курса физики формулу Гюйгенса для периода колебаний математического маятника.
Длина математического маятника, имеющего такой же период колебаний, что и данный физический маятник, на-
зывается приведенной длиной физического маятника.
Приравнивая правые части формулы Гюйгенса и выражения (7.10), видим, что приведенная длина физического маятника определяется следующим соотношением:
l = |
I |
. |
(7.11) |
пр md
Зная приведенную длину физического маятника, его период колебаний можно вычислить по формуле
T = 2π |
|
lпр |
|
. |
(7.12) |
|
|||||
|
|
g |
|
||
Используя физический маятник, можно экспериментальным путем определить его приведенную длину и вычислить ускорение свободного падения из выражения (7.12). Такой метод дает гораздо более точный результат, чем способ нахождения ускорения свободного падения с помощью весьма грубой модели математического маятника. Дело в том, что для более точного определения периода колебаний математического маятника, необходимо измерить время некоторого числа колебаний (не менее десяти) и поделить его на число колебаний. При этом из-за затухания, связанного с сопротивлением воздуха, чтобы обеспечить малые углы отклонения маятника от равновесия, приходится использовать весьма длинный математический маятник (длиной в несколько метров). Это неудобно в условиях лабораторного эксперимента.
Идеальный колебательный контур
Под идеальным колебательным контуром понимают элек-
трическую цепь, состоящую из сосредоточенных в разных областях пространства конденсатора и катушки индуктивности. Активное сопротивление контура считается равным нулю.
На рис. 7.3 показан такой колебательный контур. Конденсатор заряжается от источника напряжения, затем с помощью переключателя замыкается на катушку индуктивности. Потери энергии в контуре
отсутствуют: джоулево тепло не вы- |
1 |
2 |
|
|
деляется из-за того, что активное со- |
|
|
|
|
противление равно нулю, потери на |
|
|
L |
|
излучение практически отсутствуют |
|
C |
||
из-за слабой связи электрического |
|
|
|
|
поля конденсатора с магнитным по- |
|
|
|
|
лем катушки индуктивности. |
Рис. 7.3. Идеальный колебатель- |
|
||
Из |
второго правила Кирхгофа |
|
||
следует, |
что падение напряжения на |
ный контур |
|
|
|
|
|
||
конденсаторе равно ЭДС самоиндукции в катушке индуктивности:
UC = εs = −L dI . |
|
(7.13) |
dt |
|
|
|
|
|
Так как UC = Q / C , I = dQ / dt = Q , |
dI / dt = I |
= Q , где Q – за- |
ряд на обкладках конденсатора, то уравнение (7.13) можно переписать в виде
|
2 |
(7.14) |
Q |
+ω0 Q = 0, |
где ω0 =1/ 
LC .
Решение дифференциального уравнения гармонических колебаний (7.14) в колебательном контуре имеет вид
Q = Qm cos(ω0t +ϕ0 ), |
(7.15) |
где ω0 – циклическая частота колебаний. Период колебаний
T = 2π |
LC |
, |
(7.16) |
т. е. описывается известной из школьной физики формулой Томсона.
Падение напряжения на конденсаторе
U |
C |
= Q |
= |
Qm |
cos(ω t +ϕ |
), |
(7.17) |
|
|||||||
|
C |
|
C |
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сила тока в контуре
I = −ω0Qm sin(ω0t +ϕ0 ) =ω0Qm cos(ω0t +ϕ0 +π / 2), |
(7.18) |
т. е. ток опережает напряжение на конденсаторе по фазе на π / 2 . Энергия электрического поля в конденсаторе
W |
= |
CU 2 |
1 Q2 |
2 |
(ω t +ϕ |
). |
(7.19) |
C = |
m cos |
||||||
C |
|
2 |
2 C |
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Энергия магнитного поля в катушке индуктивности
W |
= |
LI 2 |
= |
1 |
ω2 LQ2 |
sin2 (ω t +ϕ |
). |
(7.20) |
L |
|
2 |
|
2 |
0 m |
0 0 |
|
|
Так как ω02 L =1/ C , то п олная энергия электромагнитного поля в колебательном контуре
W =W |
+W = |
CU 2 |
LI 2 |
(7.21) |
m = |
m , |
|||
C |
L |
2 |
2 |
|
|
|
|
||
где Um = Qm / C , а Im =ω0Qm |
– соответственно амплитуды напряже- |
|||
ния и силы тока. |
|
|
|
|
Сложение когерентных колебаний
Колебания называются когерентными (от лат. cohaerens – находящийся в связи) или согласованными, если они происходят в одном и том же направлении, имеют одинаковые частоты и постоянную во времени разность фаз.
Пусть накладываются друг на друга когерентные колебания произвольной природы следующего вида:
ψ1 = A1 cos(ω0t +ϕ01 ), |
(8.1) |
ψ2 = A2 cos(ω0t +ϕ02 ), |
(8.2) |
Под ψ1 и ψ2 здесь понимаются смещения относительно равновесных значений колеблющейся величины (например, угла отклонения маятника или заряда на обкладках конденсатора). Для анализа характера результирующих колебаний воспользуемся графическим методом представления колебаний в виде вращающихся векторов
(см. рис. 8.1).
Суть графического метода (метода векторных диаграмм) представления колебаний состоит в том, что колебания представляются вращающимся вектором. При этом амплитуда колебаний соответствует модулю данного вектора, их циклическая частота – его угловой скорости вращения, фаза колебаний – углу отклонения вектора от фиксированного направления, начальная фаза соответствует начальному значению этого угла, а смещение – проекции конца вектора на указанное направление в данный момент времени.
ω0 А
А2 
ϕ2 |
|
А1 |
|
|
|
|
|
|
ψ
ϕ1 ϕ0
Рис. 8.1. К сложению когерентных колебаний
Поскольку частоты складываемых колебаний одинаковы, векторы их изображающие вращаются с одинаковой угловой скоростью. Суммарный вектор, модуль которого равен амплитуде результирующих колебаний, вращается с той же угловой скоростью. Следовательно, результирующие колебания также будут гармоническими колебаниями с той же циклической частотой, что и исходные колебания. Величина смещения в этих колебаниях (проекция конца вектора A на ось ψ ) будет зависеть от времени по закону
ψ = Acos(ω0t +ϕ0 ). |
(8.3) |
Амплитуду результирующих колебаний легко найти, используя теорему косинусов:
A2 = A2 |
+ A2 |
+ 2A A cos(ϕ |
2 |
−ϕ ). |
(8.4) |
|
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
|
|
Тангенс начальной фазы результирующих колебаний также легко определить из рис. 8.1, суммируя соответствующие проекции векторов:
tgϕ0 = |
A1 sinϕ1 |
+ A2 sinϕ2 |
. |
(8.5) |
A1 cosϕ1 |
|
|||
|
+ A2 cosϕ2 |
|
||
В зависимости от значения ∆ϕ =ϕ2 −ϕ1 амплитуда |
результи- |
|||
рующих колебаний может принимать значения в интервале
A2 − A1 ≤ A ≤ A2 + A1.
Максимальное значение амплитуды Amax = A2 + A1 достигается при ∆ϕ = 2mπ , где m = 0,1,2,3,… Такие колебания называются синфазными. Синфазные колебания максимально усиливают друг друга. Минимальное значение амплитуды Amin = A2 − A1 становится возможным при ∆ϕ = (2m +1)π . Такие колебания называются противофазными. Противофазные колебания максимально ослабляют друг друга. При равенстве амплитуд складываемых противофазных колебаний наблюдается их полное взаимное гашение.
Биения
Под биениями понимают результат наложения колебаний одинакового направления с близкими значениями частоты.
Пусть складываемые колебания описываются уравнениями
ψ1 |
= Acosω1t, |
(8.6) |
ψ2 |
= Acosω2t, |
(8.7) |
где ω2 =ω1 + ∆ω , причем ∆ω ω1 . Амплитуды обоих колебаний для простоты анализа приняты одинаковыми, а значения начальных фаз – нулевыми. Результат суммирования (8.6), (7.7) имеет вид
ψ =ψ1 +ψ2 = 2Acos |
ω2 −ω1 |
t cos |
ω2 +ω1 |
t. |
(8.8) |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
Обозначив |
|
|
|
|
|
|
ω |
= ω2 −ω1 = |
ω , ω |
= ω2 +ω1 |
|
(8.9) |
|
мод |
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
перепишем (8.8) в следующем виде:
ψ = Aмод cosωt. |
(8.10) |
Уравнение (8.10) описывает амплитудно-модулированные колебания, при этом амплитуда модуляции
Aмод = 2Acosωмодt. |
(8.11) |
График таких колебаний показан на рис. 8.2.
ψ
Tb
2A
2A
t
T мод
Рис. 8.2. Картина биений в случае наложения колебаний одинаковой амплитуды
Рассмотренный случай представляет собой простейший пример модуляции амплитуды высокочастотных колебаний более низкочастотными гармоническими колебаниями. В представляющих интерес для практического использования в радиотехнике, телекоммуникационных системах и т. п. используются более сложные законы модуляции. При этом может модулироваться не только амплитуда, но также и частота, и фаза колебаний. Заметим, что периодические биения возникают только при наложений колебаний вида (8.6), (7.7). Как видно из рис. 8.2, период биений равен половине периода модуляции:
T = |
Tмод |
= |
2π |
. |
(8.12) |
b 2 ∆ω
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Рассмотрим прямоугольную рамку, в центре которой находится шарик массой m, удерживаемый четырьмя одинаковыми пружинами жесткостью k (рис. 8.3).
Рис. 8.3. К сложению взаимно перпендикулярных колебаний