Физика [РТФ, Браже & Долгов, 1 семестр] / 178

Графический метод исследования колебаний.

Рассмотрим вектор , вращающийся с постоянной угловой скоростью вокруг своего начала О (рис. 12.1). Пусть в начальный момент времени угол отклонения этого вектора от некоторого фиксированного направления Ox равен . Тогда в момент времени t текущее значение угла отклонения составляет .

Рис. 12.1. Векторная диаграмма, представляющая гармонические колебания

Как следует из рис. 12.1, проекция конца вектора на направление Ox определяет величину смещения в гармонических колебаниях

Суть графического метода (метода векторных диаграмм) представления колебаний состоит в том, что колебания представляются вращающимся вектором. При этом амплитуда колебаний соответствует модулю данного вектора, их циклическая частота – его угловой скорости вращения, фаза колебаний – углу отклонения вектора от фиксированного направления, начальная фаза соответствует начальному значению этого угла, а смещение – проекции конца вектора на указанное направление в данный момент времени.

Метод комплексных амплитуд исследования колебаний.

В математике известна формула Эйлера, связывающая показательную функцию с тригонометрическими функциями:

.

В соответствии с этой формулой

.

Тогда уравнение гармонических колебаний (12.4) можно представить в следующем виде:

где – комплексная амплитуда колебаний. Обозначение действительной части обычно опускают, подразумевая его, и представляют уравнение гармонических колебаний в виде

Суть метода комплексных амплитуд состоит в том, что уравнение гармонических колебаний представляется в экспоненциальной форме с комплексной амплитудой. При этом модуль комплексной амплитуды соответствует амплитуде колебаний, а ее аргумент – начальной фазе.

Метод комплексных амплитуд удобен в тех случаях, когда требуется дифференцировать или интегрировать уравнение гармонических колебаний.

150

Комплексную амплитуду колебаний можно разложить на действительную и мнимую части:

(12.6)

и представить в виде вектора на комплексной плоскости (рис. 12.2).

y

Рис. 12.2. Действительная и мнимая части комплексной амплитуды колебаний

Тогда амплитуду колебаний и их начальную фазу можно найти из следующих выражений:

Амплитуду колебаний можно найти также из выражения

где – число, комплексно сопряженное .

151

Метод фазовой плоскости исследования колебаний.

Гармонические колебания. Пусть имеются гармонические колебания, описываемые уравнением

Тогда скорость, с которой смещение изменяется со временем (колебательная скорость), равна производной по :

Из (12.10), (12.11) видно, что скорость также колеблется по гармоническому закону, но опережает смещение по фазе на . Амплитуда этих колебаний равна .

Выразим из (12.10) , а из (12.11) и воспользуемся известной тригонометрической формулой . Получим

фаза) колебательного процесса в каждый момент времени и по этой причине называются фазовыми координатами колебательной системы. Уравнение (12.13) называется уравнением фазовой траектории на фазовой плоскости ( или фазовым портретом колебаний. На рис. 12. 3 показаны график и фазовый портрет гармонических колебаний.

Направление движения изображающей точки по фазовой траектории легко установить из вида уравнений (12.10), (12.11), задав начальные ус-

152

времени, согласно (12.10) и (12.11), получим , , т. е. изображающая точка в нашем случае вращается по часовой стрелке.

Рис. 12.3. График (а) и фазовый портрет (б) гармонических колебаний

Слабо затухающие колебания. Рассмотрим колебания, амплитуда которых экспоненциально, но достаточно медленно, спадает во времени:

где , причем . Здесь – начальная амплитуда колебаний, – коэффициент затухания, – циклическая частота затухающих колебаний. Как видим, наличие затухания приводит к уменьшению частоты колебаний.

На рис. 12.4 представлены график и фазовый портрет таких колебаний. Совершенно понятно, что вследствие затухания амплитуда колебаний от периода к периоду уменьшается, и на фазовом портрете слабо затухающих колебаний вместо эллипса, изображенного на рис. 12.3 б, появляется скручивающаяся спираль. Легко догадаться также, что в случае не затухающих, а нарастающих во времени колебаний, вместо скручивающейся спирали фазовый портрет принимает вид раскручивающей спирали.

153

A0

Рис. 12.4. График (а) и фазовый портрет (б) слабо затухающих колебаний

Апериодическое затухание. Пусть теперь затухание в колебательной системе настолько велико, что . Ясно, что в этом случае частота затухающих колебаний становится мнимой величиной, и колебания прекращаются. Система апериодически возвращается в равновесное состояние. Здесь возможны два случая: система успевает однократно пройти положение равновесия, но на второй проход через него у нее уже не хватает энергии (1), либо у системы не хватает энергии даже для однократного прохода через равновесное состояние и отклонения в противоположную сторону (2). Оба случая представлены на графике и фазовом портрете апериодического процесса (рис. 12.5).

Рис. 12.5. График (а) и фазовый портрет (б) апериодического процесса

154

Автоколебания. Под автоколебаниями понимают незатухающие колебания, поддерживаемые за счет энергии внешнего источника, параметры которых (амплитуда и частота) определяются свойствами самой системы и не зависят от начальных условий. Примерами автоколебаний являются колебания маятника в часах, воздуха в трубах органа, скрипичной струны при движении смычка, тока в радиотехническом генераторе.

Характерной особенностью фазового портрета автоколебательного процесса (рис. 12.6) является наличие в нем так называемого предельного цикла – замкнутой фазовой траектории, к которой спиральным образом стремятся другие фазовые траектории. Это означает, что слишком сильные колебания затухают из-за прекращения поступления энергии в систему, и соответствующая фазовая траектория скручивается. Слишком слабые колебания, наоборот, нарастают вследствие возобновления поступления энергии от источника, и соответствующая фазовая траектория раскручивается. При этом соблюдается условие энергетического баланса – средние за период колебаний затраты энергии должны быть точно скомпенсированы поступлением энергии от источника.

Рис. 12.6. График (а) и фазовый портрет (б) автоколебаний. Жирной линией показан предельный цикл

Метод фазовой плоскости в ряде случаев, особенно когда приходится иметь дело со сложными колебательными явлениями, позволяет выявить все особенности процесса, не прибегая к анализу уравнений.

155