Добавил:

Adamant Студент, если у тебя есть завалявшиеся работы, то не стесняйся, загрузи их на СтудентФайлс! Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Петербургский государственный университет путей сообщения им. императора Александра I

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Т.в.Ч.2.doc

Скачиваний:

Добавлен:

10.12.2021

Размер:

1.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

2 Основные законы распределения случайных величин

2.1 Биномиальный закон распределения случайной величины

Случайная величина дискретного типа называется распределенной по биномиальному закону, если ее возможными значениями являются числа , а вероятность того, что определяется формулой Бернулли

, (2.1)

где .

Биномиальное распределение реализуется, когда случайная величина выражает число появлений некоторого события при независимых испытаниях с двумя исходами: . Вероятность появления события постоянна и равна .

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по биномиальному закону, равны соответственно

. (2.2)

Пример 2.1

Производятся независимые испытания с двумя исходами: . Известно, что математическое ожидание и дисперсия случайной величины – числа появлений события в испытаниях равны соответственно

Найти число проведенных испытаний, вероятность появления события в одном испытании, вероятность того, что событие появится хотя бы один раз.

Решение

По условию задачи имеем

Пусть – число появлений события в 10 испытаниях. Тогда

Ответ: 10; 0,2; 0,833.

Пример 2.2

4 станка-автомата работают в течение суток независимо друг от друга. Каждый из них с вероятностью 1/3 может потребовать один раз в сутки одну единицу электроэнергии сверх установленной нормы. С какой вероятностью можно гарантировать, что 1) потребности в дополнительной энергии не будет; 2) хотя бы одна единица электроэнергии будет востребована.

Решение

Случайная величина – число станков – автоматов, потребовавших в течение суток дополнительную энергию, распределена по биномиальному закону с параметрами: где – событие, что станок – автомат требует дополнительной энергии. Тогда

2) .

Ответ: 1) 16/81; 2) 65/81.

С биномиальным распределением связано геометрическое распределение.

2.2 Геометрическое распределение

Случайная величина дискретного типа называется распределенной по геометрическому закону, если ее возможными значениями являются числа: 0, 1, 2, . . ., а вероятности этих значений определяются формулами:

(2.3)

где .

Геометрическое распределение реализуется в схеме Бернулли, где – число испытаний до появления первого успеха, вероятность успеха в одном испытании, вероятность неуспеха в одном испытании. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение случайной величины имеют вид:

. (2.4)

Вероятность события ( ) определяется по формуле:

(2.5)

На практике часто используется распределение случайной величины , называемое «геометрическим +1» распределением [2]. Случайная величина принимает значения 1, 2, 3, . . . с вероятностями этих значений

«Геометрическое +1» распределение реализуется в схеме Бернулли, где число испытаний до появления первого успеха, включая успешное испытание. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение случайной величины имеют вид:

Пример 2.3

Вероятность получения зачета студентом при одной попытке равна и не меняется при последующих попытках. Случайная величина – число попыток до получения зачета (число попыток не ограничено). Найти: 1) среднее число попыток до получения зачета, если ; 2) вероятность успешно сдать зачет с первой попытки, если ; 3) вероятность того, что студент сдаст зачет с третьей попытки, если .

В пунктах 1) и 2) вычислить среднее квадратическое отклонение и вероятность события ).

Решение

1) Случайная величина распределена по геометрическому закону. По условию задачи Тогда среднее число попыток, дисперсию и среднее квадратическое отклонение определяем по формулам (2.4):

Так как возможные значения , то вероятность события ) примет вид:

С использованием формулы (2.5) получим:

2) По условию задачи . Тогда

Среднее квадратическое отклонение

Вероятность события определим по формуле (2.5):

3) Так как получить зачет с третьей попытки означает, что две первые попытки были неуспешными, то

Ответ: 1) 9; ; =0,982; 2) 1/3; ; = 0,97; 3) 4/27.

2.3 Распределение Пуассона

Случайная величина дискретного типа называется распределенной по закону Пуассона, если ее возможными значениями является бесконечное, но счетное множество чисел: 0, 1, 2, . . . , , . . ., а вероятность того, что случайная величина принимает одно из этих значений, определяется формулой:

, (2.6)

где параметр Пуассона.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины распределенной по закону Пуассона, равны параметру Пуассона :

Распределение Пуассона является предельным для биномиального закона распределения случайной величины, когда число испытаний неограниченно возрастает ( ) и вероятность успеха в одном испытании неограниченно убывает , но так, что произведение в пределе является постоянным, равным параметру Пуассона :

Закон Пуассона называют также законом редких событий.

На практике встречается ряд задач, где можно использовать распределение Пуассона.

Рассмотрим последовательность однородных событий, которые могут произойти в произвольные моменты времени. Отметим точками на оси времени моменты появления этих событий. Последовательность таких точек называется потоком событий. Поток событий называется простейшим, если он обладает свойствами ординарности и отсутствия последействия.

Свойство ординарности потока означает, что вероятность попадания двух и более точек на малый интервал есть бесконечно малая величина более высокого порядка малости по сравнению с вероятностью попадания на указанный интервал одной точки.

Свойство отсутствия последействия означает, что вероятность попадания числа точек на заданный интервал не зависит от того, сколько точек попадает на другие непересекающиеся с интервалы.

Если интенсивность потока (среднее число событий в единицу времени) постоянна, то простейший поток событий называется стационарным.

Для простейшего потока событий случайная величина – число событий, попадающих в интервал длины , подчиняется закону Пуассона с параметром :

(2.7)

Если интенсивность потока – известная функция времени, то простейший поток называется нестационарным. Случайная величина – число точек, попадающих в интервал , подчиняется закону Пуассона с параметром :

Закон Пуассона может возникнуть в задачах, связанных со случайным выбором точек на плоскости или в пространстве (поле точек на плоскости или в пространстве). Условия, обеспечивающие применение закона Пуассона, – ординарность, отсутствие последействия поля.

Ординарность поля означает, что вероятность попадания двух и более точек в элементарный участок площади (пространства) пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одной точки в элементарный участок площади (пространства).

Отсутствие последействия поля означает, что вероятность попадания любого числа точек в плоскую (пространственную) область не зависит от того, сколько точек попало в любую другую непересекающуюся с ней область на плоскости (пространстве).

Для простейшего поля точек случайная величина – число точек, попавших в область ( ), подчиняется закону Пуассона (2.6) с параметром .

Если плотность поля , т.е. среднее число точек, приходящееся на единицу площади (объема), постоянна, то поле точек называется однородным. В противном случае поле точек называется неоднородным.

Параметр Пуассона для однородного поля точек на плоскости ( ) определяется формулой: , где площадь области ( );

для неоднородного поля точек с плотностью – формулой: .

Для вычислений, связанных с распределений Пуассона, применяются таблицы функций

Если параметр Пуассона , то для вычислений можно воспользоваться приближенными формулами

где – стандартная функция Лапласа.

Пример 2.4

На АТС поступает простейший поток вызовов

1) с постоянной интенсивностью (выз./час) в интервале от 10 до 11 часов;

2) с постоянной интенсивностью (выз./час) в интервале от 11 до 13 часов;

3) с интенсивностью, изменяющейся линейно , в интервале от 13 до 14 часов, при этом

Найти вероятности того, что

1) а) между 10 ч. 30 мин и 11 ч. на АТС поступит не менее 2 вызовов;

б) 3 вызова между 11час. и 11час. 30 мин.;

2) между 13 ч. и 13 ч. 24 мин. на АТС поступит

а) хотя бы один вызов; б) не более 2 вызовов.

Решение

Пусть – с.в., равная числу вызовов, поступивших на АТС за указанный промежуток времени.

1) Между 10 ч. и 11ч. интенсивность потока вызовов постоянна:

Следовательно, параметр Пуассона

а) Пусть – событие, что на АТС поступает не менее 2 вызовов между 10 ч. 30 мин. и 11 ч. Тогда событие, что на АТС поступает за указанный промежуток менее 2 вызовов, т.е. 0 или 1 вызов. Тогда

б) Между 11 ч. и 13 ч. интенсивность потока вызовов постоянна:

Следовательно, параметр Пуассона

По формуле (2.6) получим:

2) Интенсивность потока меняется по линейному закону. Найдем коэффициенты .

Так как 13 ч = 780 мин, 14 ч = 840 мин, то по условию задачи

Тогда

Итак, интенсивность простейшего потока в интервале между 13 ч. и 14 ч. имеет вид:

Параметр Пуассона определяется по формуле

Событие на АТС поступит в указанный промежуток времени хотя бы один вызов. Событие , противоположное событию на АТС не поступит ни одного вызова в указанный промежуток времени. Тогда

а)

б) Обозначим – событие, что на АТС поступит не более двух вызовов в промежутке между 13 ч. и 13 ч. 24 мин. Тогда

Ответ: 1) а) 0,96; б) 0,213; 2) а) 0,95; б) 0,42.

Пример 2.5

Засевается зерном квадратный участок размером 20х20 кв.м. Поле зерен считается простейшим. Плотность поля зерен определяется формулами

при этом

Здесь оси направлены по смежным сторонам квадратного поля.

Найти вероятности событий

1) в область попало не более двух зерен;

2) в область попало не менее двух зерен.

Решение

1) В области поле зерен однородное. Параметр Пуассона

Пусть – случайная величина – число зерен в области .

Тогда

Используя формулу Пуассона (2.5) с параметром , получим

2) В области ( поле зерен неоднородное. Найдем параметры

По условию задачи

Итак, плотность поля зерен в области ( имеет вид: .

Параметр Пуассона

Используя формулу Пуассона (2.6), получим

Ответ: 1) 0,985; 2) 0,09.

2.4 Равномерный закон распределения случайной величины

Случайная величина непрерывного типа называется распределенной равномерно на отрезке , если ее плотность распределения вероятности задается формулой:

(2.9)

Функция распределения , математическое ожидание , дисперсия имеют вид:

Графики плотности и функции распределения для равномерного закона представлены на рис. 7 и 8.

Пример 2.6

Интервал движения автобуса 5 мин. Случайная величина – время ожидания автобуса – распределена равномерно в указанном интервале. Студент приходит на остановку автобуса в произвольный момент времени. Найти вероятности того, что за 5 поездок на автобусе студент

1) хотя бы один раз ожидал автобус менее 2 минут (событие );

2) только один раз ожидал автобус менее 2 минут (событие ).

Найти наивероятнейшее число поездок со временем ожидания автобуса менее 2 минут и вероятность этого события.

Решение

Функция распределения случайной величины имеет вид:

Тогда вероятность того, что студент ожидает автобус менее 2 минут, определяется по формуле:

Рассмотрим схему Бернулли с параметрами:

Тогда получим

Наивероятнейшее число поездок со временем ожидания менее 2 мин. находим из неравенства .

Отсюда .

Вероятность этого события

Ответ: 1) 0,922; 2) 0,259; ; =0,346.

2.5 Показательный закон распределения случайной величины

Случайная величина непрерывного типа называется распределенной по показательному (экспоненциальному) закону с параметром , если плотность распределения вероятностей имеет вид:

(2.10)

Функция распределения , математическое ожидание , дисперсия имеют вид:

;

Графики плотности и функции распределения для показательного закона представлены на рис. 9 и 10.

Пример 2.7

Для связи между геологическими партиями фирма закупила 5 раций со средним временем безотказной работы 12 месяцев каждая. Случайная величина – время безотказной работы (до первого отказа) распределена по показательному закону. Найти вероятности того, что в течение 6 месяцев непрерывной работы

1) не откажет хотя бы одна рация из 5 (событие );

2) не откажет только одна рация из 5 (событие ).

Найти наивероятнейшее число раций, безотказно работающих в течение 6 месяцев. Определить вероятность этого события.

Решение

По условию задачи

Функция распределения времени безотказной работы рации имеет вид:

Тогда вероятность того, что в течение 6 месяцев непрерывной работы рация не откажет (событие А), имеет вид:

Далее следует рассмотреть схему Бернулли с параметрами:

Имеем

1) .

Наивероятнейшее число раций, работающих безотказно в течение 6 месяцев, найдем из неравенства

Вероятность того, что в течение 6 месяцев не откажут 2 рации, определим по формуле

Ответ: 1) 0,918; 2) 0,266; P = 0,346.

2.6 Нормальный закон распределения случайной величины

Случайная величина называется распределенной по нормальному закону с параметрами , коротко: если плотность распределения вероятности имеет вид (рис. 11):

(2.11)

Математическое ожидание и дисперсия совпадают с параметрами нормального закона распределения: – среднее квадратическое отклонение.

Функция распределения случайной величины :

(2.12)

или

где – интегральная функция Лапласа.

Используем связь функции со стандартной функцией Лапласа : .

Функция распределения примет вид: .

Графики функций и представлены на рис. 12 и 13 соответственно.

Для вероятностей попадания в заданный интервал получим выражения:

; (2.13)

(2.14)

(2.15)

Для вероятности попадания в симметричный относительно математического ожидания интервал справедлива формула:

(2.16)

Пример 2.7

Случайная величина распределена по нормальному закону: . Найти вероятности событий:

1) ,

где – математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины .

Решение

По условию .

1) Используем формулу (2.16):

По таблицам функции находим . Следовательно, .

2) Используем формулу (2.15):

Так как , то .

Используем формулу (2.14):

Функция нечетная, значит .

Тогда .

Ответ: 1) 0,3988; 2) 0,5; 3)0,1287.

Пример 2.8

На станке изготавливаются детали номинальной длины 4 см. – длина детали – случайная величина, распределенная по нормальному закону: . Известно, что 90% деталей имеют длину в пределах (3,8 см – 4,2 см). Найти вероятность того, что наудачу выбранная деталь удовлетворяет стандарту (событие ), если для этого достаточно, чтобы ее длина отличалась от номинала не более чем на 0,1см.

Решение

Найдем среднее квадратическое отклонение . По условию задачи 90% деталей имеют отклонение длины от номинальной длины 2 см, т.е.

. По формуле (2.16):

По таблице значений функции находим значение аргумента, соответствующего значению .

По условию . Согласно формуле (2.16)

По таблице значений функции находим . Следовательно, .

Ответ: 0,5878.

Пример 2.9

Цех завода изготавливает однотипные детали. Случайна величина – вес детали – распределена по нормальному закону. Известно, что 20% деталей имеют вес, меньший 15 г, а 40% деталей – вес, больший 20 г. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение .

Решение

По условию задачи 20% деталей имеют вес, меньший 15 г, т.е.