Начальные и центральные моменты высших порядков

Математическое ожидание и дисперсия являются частными случаями общих характеристик случайной величины – начальных и центральных моментов высших порядков.

Начальным моментом го порядка называется математическое ожидание случайной величины : .

Для случайной величины дискретного типа –

, (1.10)

для непрерывного типа –

. (1.11)

Начальный момент первого порядка является математическим ожиданием случайной величины :

Центральным моментом го порядка называется математическое ожидание й степени центрированной случайной величины : .

Для случайных величин дискретного и непрерывного типа определяются соответственно по формулам

(1.12)

(1.13)

Центральный момент второго порядка является дисперсией случайной величины : .

Центральные моменты третьего и четвертого порядков позволяют оценить форму распределения. Параметрами формы называются коэффициенты асимметрии и эксцесса :

. (1.14)

Коэффициент асимметрии характеризует закон распределения с точки зрения его симметричности относительно математического ожидания [2,4], коэффициент эксцесса характеризует «островершинность» распределения относительно нормального распределения, для которого [2,4].

Пример 1.9

Дана функция распределения непрерывной случайной величины :

Найти: 1) параметры и ; 2) плотность распределения ; построить графики функций ; 3) параметры положения: математическое ожидание , моду , медиану ; 4) параметры рассеивания: дисперсию , среднее квадратическое отклонение ; 5) параметры формы: коэффициент асимметрии и коэффициент эксцесса ; 6) вероятность ).

Решение

1) Функция распределения непрерывна в точках Из равенства левосторонних и правосторонних пределов в этих точках получим систему уравнений для определения параметров и :

Функция распределения имеет вид:

.

Плотность распределения находим по формуле :

.

Графики функций и представлены на рис. 5 и 6.

3) График функции симметричен относительно оси . Поэтому сразу получаем: .

Эти характеристики можно найти по определению. Так, по второй формуле (1.8) получим:

Медиану найдем как корень уравнения: .

График функции имеет два локальных максимума в точках и . Следовательно, распределение имеет две моды: , т.е. является полимодальным.

4) Дисперсию определим по второй формуле (1.9):

.

Среднее квадратическое отклонение:

5) Находим центральные моменты третьего и четвертого порядков по формулам (1.13):

(проверьте!),

(проверьте!).

Коэффициенты асимметрии и эксцесса вычисляем по формулам (1.14):

Объясните полученный результат с помощью графика плотности распределения случайной величины .

6) Вероятность события найдем по формуле (1.2):

Ответ: 1) 2) рис. 5 и 6; 3) ; 4) 1/3, 0,707; 5) 6) 0,5.