Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной: .

2. Постоянный множитель в произведении выносится за знак математического ожидания: .

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий: .

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: .

Мода, медиана случайной величины.

Модой случайной величины дискретного типа называется значение случайной величины, принимаемое с наибольшей вероятностью по сравнению с двумя соседними значениями [3], т.е. это наиболее вероятное значение случайной величины. Для непрерывной случайной величины мода – это точка локального максимума плотности распределения .

Так, в примере 1.1 для ряда распределения случайной величины (табл. 5) мода =3, так как значение достигается с наибольшей по сравнению с соседними значениями вероятностью 0,46.

Для распределения примера 1.1 (табл. 6) мода =2, для распределения случайной величины в примере 1.2 (табл. 7) мода =1 (объясните, почему?).

Для непрерывной случайной величины примера 1.3 мода =1, так как функция в точке имеет локальный максимум (рис.4).

Распределения с единственной модой называются унимодальными, с несколькими модами – полимодальными, без моды – антимодальными.

Таким образом, рассмотренные выше распределения (табл. 5, 6, 7) и распределение в примере 1.3 являются унимодальными.

Медианой случайной величины называется такое ее значение , для которого выполняется условие:

.

Медиана определяется только для случайных величин непрерывного типа.

Пример 1.4

Найти медиану распределения случайной величины приведенной в примере 1.3.

Решение

Плотность распределения представлена на рис.3 и имеет вид:

Медиану находим из уравнения

Ответ: 1,879.

2. Дисперсия случайной величины определяется как математическое ожидание квадрата центрированной случайной величины :

(1.9) Дисперсия характеризует разброс возможных значений случайной величины относительно среднего значения, имеет размерность квадрата размерности случайной величины. Для удобства сравнений вводят величину, имеющую ту же размерность, что и случайная величина – среднее квадратическое отклонение: .

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной равна нулю: .

2. Постоянный множитель в произведении выносится за знак дисперсии в квадрате: .

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий: .

Замечание.

Распределения непрерывных случайных величин в данной работе не вводятся. Эти распределения предполагают знание распределений многомерных случайных векторов, распределений функций от случайной величины, распределений функций от многомерного случайного вектора. Первоначальное знакомство с указанными разделами предлагается на кафедре в виде самостоятельного изучения и докладов на Неделе науки [2, 7].

Следует отметить, что вышеперечисленные свойства математического ожидания и дисперсии справедливы как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных случайных величин.

Пример 1.5

В условиях примера 1.1 найти .

Решение

Ряды распределений случайных величин представлены в таблицах 2, 3 и 5 соответственно.

По первой формуле (1.8) получим

По свойству 3 математического ожидания:

Используя ряд распределения случайной величины (табл.5), можно также получить математическое ожидание по первой формуле (1.8):

.

По первой формуле (1.9) для дисперсии дискретной случайной величины получим

.

.

Используя свойство о дисперсии суммы независимых случайных величин, получим

.

Дисперсию суммы можно получить непосредственно по первой формуле (1.9):

.

Среднее квадратическое отклонение .

Ответ: ; ; ;

; ; .

Пример 1.6

В условиях примера 1.3 найти .

Решение

Плотность распределения вероятностей имеет вид:

.

Математическое ожидание находим по второй формуле (1.8):

Дисперсию находим по второй формуле (1.9):

Среднее квадратическое отклонение:

Ответ: 2; 0,5; 0,71.

Пример 1.7

Дискретная случайная величина задана рядом распределения

Таблица 8

		2	3	6	7
	0,1		0,2	0,3	0,1

Найти значение случайной величины , вероятность , если .

Решение

Сумма вероятностей в ряде распределения равна единице:

0,1 + + 0,2 + 0,3 + 0,1 =1 = 0,3.

По определению математического ожидания дискретной случайной величины имеем:

Ответ: 0,3; 1.

Пример 1.8

Дискретная случайная величина может принимать два значения: и , при этом .

Известны

Построить ряд распределения случайной величины .

Решение

Сумма вероятностей в ряде распределения равна единице:

Для определения значений и используем выражения для дискретной случайной величины (первые формулы (1.7) и (1.8):

Систему решаем методом исключения:

Тогда

По условию . Следовательно, .

Ряд распределения имеет вид:

Таблица 9

	1	2
	0,2	0,8

Ответ: , .