1.3 Случайные величины с непрерывным распределением
Случайная
величина
называется
непрерывной (случайной величиной с
непрерывным распределением), если
множество ее возможных значений является
промежутком на числовой оси (или вся
числовая ось в частном случае) и ее
функцию распределении
можно представить в виде:
(1.5)
Подынтегральная
функция
называется плотностью распределения
вероятностей, или дифференциальной
функцией распределения случайной
величины
.
Свойства
плотности распределения
:
1)
в точках непрерывности функции
;
2)
–
условие нормировки;
(1.6)
плотность распределения неотрицательна:
;вероятность попадания в заданный интервал определяется либо по формуле (1.2) через функцию распределения, либо по формуле
(1.7)
Функция распределения непрерывной случайной величины является непрерывной монотонно возрастающей функцией на всей оси.
В
отличие от случайных величин дискретного
типа для случайной величины с непрерывным
распределением вероятность события
(
)
равна нулю:
Это означает, что для случайной величины
с непрерывным распределением неравенства
в левой части (1.7) могут быть как строгими,
так и нестрогими.
Понятие независимости случайных величин связано с распределением многомерного случайного вектора [2, 7]. По сути, это понятие аналогично ранее введенным понятиям независимости случайных событий и испытаний [2, 8].
Так,
две случайные величины
и
называются
независимыми, если для любых вещественных
чисел
события
и
являются независимыми, т.е.
.
Отсюда
,
где
– функции распределения случайных
величин
и
соответственно.
Пример 1.3
Плотность распределения случайной величины задана функцией
.
Найти:
1) параметр
,
2) функцию распределения
,
3) вероятность
,
4) построить графики функций
и
.
Решение
1) Параметр находим из свойства нормировки плотности распределения (1.6):
.
Тогда
2) Функцию распределения находим по формуле (1.5):
а)
б)
в)
.
Итак, функция распределения имеет вид
.
3) Вероятность найдем по формуле (1.2):
4) Графики функции распределения и плотности распределения представлены на рис. 3, 4.
Ответ:
1)
=2/9;
2)
;
3)
=4/9;
4) Рис. 3,4.
1.4 Числовые характеристики случайных величин
Функция распределения полностью характеризует случайную величину . При решении многих практических задач бывает достаточно знать числовые характеристики, которые дают сжатое и наглядное представление о случайной величине. К ним относятся в первую очередь характеристики положения: математическое ожидание, мода, медиана и характеристики рассеивания: дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
1. Математическое ожидание – это среднее значение случайной величины (с.в.), определяемое по формулам
.
(1.8)
Если
множество возможных значений
счетно, то в определении (1.8) ряд должен
быть сходящимся. Несобственный интеграл
в определении (1.8) должен быть абсолютно
сходящимся. В противном случае случайная
величина не имеет математического
ожидания.