2. Дираковская потенциальная гребенка

Моделью Кронига-Пенни называют одномерную структуру эквидистантно расположенных одинаковых прямоугольных потенциальных барьеров. В рамках этой модели можно достаточно просто описать основные черты зонной структуры идеального кристалла. Более того, в модель Кронига-Пенни можно ввести точечный дефект и свободную поверхность и понять, к каким изменениям электронного спектра это приводит. Здесь мы рассмотрим частный случай модели Кронига-Пенни – так называемую дираковскую потенциальную гребенку, где в качестве барьеров задаются дельтаобразные потенциалы вида (1.63). В соответствии со сказанным положим:

, (1.71)

что моделирует одномерный бесконечный кристалл (рис. 1.8).

Рис. 1.8. Схематическое изображение дираковской потенциальной гребенки.

Общее решение уравнения Шредингера с потенциалом (1.71) для области имеет вид

, (1.72)

где . Рассматривая независимые решения, удовлетворяющие условию, получаем

, . (1.73)

В то же время сшивание в точке (см. (1.67)) дает

(1.74)

Исключив отсюда ,с помощью (1.73), получаем систему двух линейных относительно,уравнений. Условие существования нетривиального решения приводит к соотношениям

, , (1.75)

. (1.76)

Отсюда

. (1.77)

При любом фиксированном значенииуравнение (1.77) определяет два значения, соответствующие двум независимым решениям уравнения Шредингера, при этом. Приоба значениявещественны. При этом оба решения возрастают на больших расстояниях: решениестремиться к бесконечности при, решение− при. Такие решения, однако, не соответствуют физически реализуемым состояниям. Последним соответствуют значения, для которых, т. е., или

. (1.78)

Таким образом, допустимые значения образуют зоны. Если положить, где,− квазиимпульс (не путать с!), то согласно (1.75) уравнение для определения зависимости(здесь− номер зоны, не путать с номером узла в (1.71)-(1.74)) принимает вид

. (1.79)

Графическое решение уравнения (1.79) представлено на рис. 1.9.

Рис. 1.9. К решению уравнения (1.79).

Отметим основные свойства полученного спектра.

1. Зависимостьотявляется четной, так что состояния, различающиеся знаком квазиимпульса, являются двумя независимыми состояниями, соответствующими двукратно вырожденному уровню.

2. Зоны не перекрываются. При все они расположены в области, причем,= 0, 1, … Призоны узки, с увеличениемих ширина увеличивается и приони почти полностью занимают указанный выше интервал. При изменении знаканижняя зона опускается в область(при этом− мнимая величина).

3. При значениях энергии, близких к границам зоны (при и), зависимостьявляется парабюолической, т. е..

В заключение отметим, что собственные функции гамильтониана в данной задаче не нормируемы на 1, так что локализованные стационарные состояният частицы в периодическом потенциале отсутствуют; волновая функция (1.72), (1.73) соответствует частице, свободно распространяющейся по кристаллу с квазиимпульсом .