1.2. Распространение электромагнитной волны

в круглом волноводе

Круглый волновод односвязный закрытый волновод, поперечное сечение которого имеет форму круга радиусаr(см. рис. 2). Уравнение Гельмгольца в общем виде в цилиндрической системе координат имеет вид:

, (12)

где комплексная амплитуда электрического или магнитного поля.

Решение уравнения (12) ищется в виде комбинации функций Бесселя первого и второго рода (функций Неймана) порядка m(см. рис. 7) по радиальной координате (r) и тригонометрических функций по угловой координате ().

Рис. 7. Графики функций Бесселя J_m (а) и Неймана N_m(б)

В общем виде решение уравнения Гельмгольца в цилиндрической системе координат для продольной компоненты поля имеет вид:

(13)

Однако в силу условий физической задачи поле в центре волновода не может быть бесконечно большим, что навязывается значением функции Неймана при r = 0, следовательно, необходимо положитьB_m= 0 в (13). Кроме того, в (13) можем опустить sin(m). Так как начало отсчета угламожет быть выбрано произвольно, выберем за начало отсчета полуплоскость= const, в которойимеет максимальное значение. Косинус имеет максимальное значение приm= 0, а синус при этом равен нулю. Перепишем (13) в соответствии с вышеизложенными соображениями:

. (14)

Запишем граничные условия для электромагнитного поля на стенке волновода, выполненного из идеального проводника:

(15)

Решения уравнения (12) для электрических волн:

(16)

Для магнитных волн:

(17)

В отличие от прямоугольного волновода, в круглом волноводе поперечные волновые числа различны для электрических и для магнитных волн. Поперечные волновые числа для электрических волн находятся через корни функций Бесселя (_mn), а для магнитных – через корни производных функций Бесселя (_mn):

Значения первых корней функций Бесселя и их производных приведены в табл. 1 и 2.

Таблица 1. Корни функций Бесселя (_mn)

Номер корня (n)	m = 0	m = 1	m = 2
1	2.405	3.832	5.135
2	5.520	7.016	8.417
3	8.654	10.173	11.620

Таблица 2. Корни производных функций Бесселя (_mn)

Номер корня (n)	m = 0	m = 1	m = 2
1	3.832	1.840	3.054
2	7.016	5.335	6.705
3	10.174	8.536	9.965

Физический смысл индексов m и n, входящих в обозначение собственных мод круглого волновода. Индексmвходит в качестве постоянного коэффициента в аргументы функцийcos(m) иsin(m), определяющих зависимость составляющих векторовЕиHсобственных волн волновода от пространственной переменной. Для выяснения общих закономерностей, определяющих зависимость этих составляющих от величины коэффициентаm, достаточно рассмотреть одну из этих функций, например,cos(m).

При m = 0 имеемcos(0)=1 и рассматриваемая составляющая не зависит от угла(силовые линии соответствующего вектора представляют собой окружности).

При m = 1 зависимость от углаопределяется функциейcos. В этом случае во всех точках диаметра=(/2) рассматриваемая составляющая будет равна нулю. Следовательно, во всех точках диаметра=(/2) будут находиться узлы (нулевые значения) этой составляющей. Поэтому данный диаметр называют «узловым». Приm = 2 зависимость рассматриваемой составляющей от пространственной переменнойопределяется функциейcos 2и узловых диаметров будет два (=(/4),=(3/4)), приm = 3 – три и т.д.

Таким образом, индекс mопределяет число узловых диаметров составляющих векторовEиHсобственных волн круглого волновода и показывает какое количество узлов этих составляющих укладывается на половине окружности в поперечном сечении волновода.

Индекс nопосредованно входит в аргументы функций Бесселя и их первых производных, которые определяют зависимость составляющих векторовEиHсобственных волн круглого волновода от пространственной переменнойr. Величинаnдает информацию о числе корней этих функций, приходящихся на диапазон изменения переменнойrот 0 доa.

Следовательно, величина nопределяет число узлов (нулевых значений) составляющих векторовEиH, укладывающихся вдоль радиуса волновода.

При n = 1 узлы рассматриваемой составляющей будут находиться непосредственно на стенке волновода, поэтому величина (n – 1) будет определять количество «узловых окружностей» составляющих векторовEиHсобственных волн круглого волновода (окружностей, расположенных на плоскости поперечного сечения волновода, в каждой точке которых рассматриваемые составляющие равны нулю).

Рекомендации по графическому построению силовых линий векторов E и H в поперечном сечении круглого волновода. Знакомство с узловыми диаметрами и узловыми окружностями позволяет принять следующий порядок действий при построении картины силовых линий векторовEиH:

• в соответствии со значениями индексов mиnв поперечном сечении волновода наносятся контуры узловых диаметров и узловых окружностей;

• вдоль полученных «направляющих» наносятся силовые линии того вектора, который для данной собственной волны имеет только поперечные составляющие;

• перпендикулярно полученным силовым линиям «поперечного» вектора наносятся силовые линии другого вектора, не являющегося для данной собственной волны чисто поперечным;

• если силовые линии вектора Eвыходят из стенок волновода или входят в них, то на границе раздела они должны быть перпендикулярны этим стенкам;

• если силовые линии вектора Hпроходят вблизи стенок волновода, то на границе раздела они должны быть параллельны этим стенкам.

Рис. 6. Силовые линии векторов E и H для некоторых типов волн