1.1. Распространение электромагнитной волны

в прямоугольном волноводе

В прямоугольном волноводе могут распространяться электрические и магнитные волны собственные моды волновода. Специфической особенностью любого закрытого волновода независимо от формы его поперечного сечения и диэлектрического заполнения, является дискретный характер спектра собственных мод, являющихся решениями уравнений Гельмгольца (1).

Найдем решение уравнений (1) при следующих граничных условиях:

(3)

где aиbпоперечные размеры волновода (см. рис. 1).

Решениями уравнений являются выражения для компонент электромагнитного поля для электрических и для магнитных волн. Электрические волны:

(4)

Магнитные волны:

(5)

Каждая мода имеет свою дисперсионную кривую, определяемую дисперсионным уравнением. Спектр продольных волновых чисел для прямоугольного волновода:

, (6)

где kволновое число в неограниченном пространстве;;m,n= 0;1;2;…поперечное волновое число в волноводе.

Каждое из значений _mnсоответствует модеE_mnилиH_mn, называемой собственной, модальные индексыmиnхарактеризуют число вариаций компонент поля вдоль осейxиyсоответственно. Поле в поперечном сечении волновода представляет собой стоячие волны. Индексmпоказывает сколько полуволн стоячей волны укладывается вдоль широкой стенки волновода, а модальный индексnвдоль узкой стенки волновода.

Введем для продольного и поперечного волновых чисел следующие соотношения:

,

где λ_виV_фдлина волны и фазовая скорость волны в волноводе;скорость света в среде с электрофизическими параметрами ε_rи_r;с= 310⁸м/сскорость света в вакууме;критическая длина волны.

Перепишем продольное волновое число с учетом введенных обозначений

(7)

и выведем соотношения для длины волны и фазовой скорости

(8)

(9)

где:

. (10)

Критические частота f_кри длина волны_кропределяют диапазон рабочих частот и длин волн волновода. Собственную моду волновода, имеющую минимальную критическую частоту (частоту отсечки), или максимальную критическую длину волны, называют основной модой волновода. Для прямоугольного волновода основной модой является волна H₁₀. Существованию единственнойосновноймоды соответствует одномодовый режим работы волновода.

Волновод, работающий в режиме отсечки (при частотах ниже критической) для всех мод, называют запредельным волноводом.

Анализ структуры электромагнитного поля любой волны высшего типа следует начинать с преобразования системы уравнений (4) или (5) с учетом конкретных значений индексов mиnрассматриваемой волны. После этого следует изобразить картины силовых линий векторовEиHданной волны.

Большую помощь в решении этой задачи может оказать следующее правило. Структуру поля волны Н₁₀можно считать базовой при построении картин силовых линий векторовEиHсобственных волн Н_m0и Н_0n. Так, например, для волны Н₂₀картина силовых линий векторов E и H в поперечном сечении волновода получается путем двукратного воспроизведения базовой структуры вдоль широкой стенки волновода (с учетом фазовых соотношений соседних структур); для волны Н₃₀– трехкратным воспроизведением, и т. д. Для волны Н₀₁базовая структура будет повернута на угол 90°; для волны Н₀₂– повернута на 90° и воспроизведена дважды и т.д. (см. рис. 4).

Рис. 4. Силовые линии векторов E и H для различных типов волн:

а – для волны Н₂₀, б – для волны Н₃₀

Несколько сложнее решается задача построения картины силовых линий векторов EиHсобственных волн, у которых индексыmиnоба не равны нулю. В этом случае необходимо сначала построить картину силовых линий волны Н₁₁, которая затем, в зависимости от конкретных значений индексовmиn, будет воспроизводиться требуемое число раз вдоль широкой и узкой стенок волновода. Таким образом, для собственных волн типа Н_mnбазовой структурой является структура поля волны Н₁₁(рис. 5).

Рис. 5. Силовые линии векторов E и H для волны Н₁₁

При построении картин силовых линий векторов EиHсобственных волн Е_mnбазовой является структура поля собственной волныE₁₁. Картина силовых линий векторовEиHэтой волны в поперечном сечении волновода изображена на рис. 6.

Рис. 5. Силовые линии векторов E и H для волны E₁₁

Волновое сопротивление собственных мод в прямоугольном волноводе вводится как отношение поперечных к направлению распространения волны компонент комплексных амплитуд векторов поля волны:

. (11)