5. Двоично-десятичное кодирование

Наряду с двоичными кодами, которыми оперирует ЭВМ, для ввода и вывода десятичных чисел (данных) используют специальное двоично-десятичное кодирование. При двоично-десятичном кодировании каждая десятичная цифра заменяется тетрадой (четверкой) двоичных цифр, а сами тетрады записываются последовательно в соответствии с по рядком следования десятичных цифр. При обратном преобразовании двоично-десятичного кода в десятичный исходный код разбивается на тетрады вправо и влево от запятой, которые затем заменяются десятичными цифрами.

Таким образом, при двоично-десятичном кодировании фактически не производится перевод числа в новую систему счисления, а мы имеем дело с двоично-кодированной десятичной системой счисления.

Например, десятичное число 15₍₁₀₎ = F₍₁₆₎ = 17₍₈₎ = 1111₍₂₎ = 00010101_(2-10).

6. Преобразование чисел

ЭВМ работают с двоичными кодами, пользователю удобнее иметь дело с десятичными или шестнадцатеричными. Поэтому возникает необходимость перевода числа из одной системы счисления в другую.

Преобразование числа X из системы счисления с основанием q в систему счисления с основанием р (преобразование Х(q) → Х(р)) осуществляется по правилу замещения или по правилу деления-умножения на основание системы счисления.

Правило замещения реализуется на основании формулы (1.1) и предусматривает выполнение арифметических операций с кодами чисел в новой системе счисления. Поэтому оно чаще всего используется для преобразования чисел из недесятичной системы счисления в десятичную.

Пример. Выполнить преобразование Х₍₂₎ → Х₍₁₀₎, если Х_{2) =10101,011

Х₍₁₀₎ = 1 · 2⁴ + 0 · 2³ + 1 · 2² + 0 · 2¹ + 1 · 2⁰ + 0 · 2^-1 + 1 · 2^-2 + 1 · 2^-3 = 21,375

Правило деления-умножения предусматривает выполнение арифметических опе­раций с кодами чисел в исходной системе счисления с основанием q, поэтому его удоб­но применять для преобразования десятичных чисел в любые другие позиционные сис­темы счисления. Правила преобразования целых чисел и правильных дробей различны. Для преобразования целых чисел используется правило деления, а для преобразования правильных дробей — правило умножения. Для преобразования смешанных чисел ис­пользуются оба правила соответственно для целой и дробной частей числа.

Правило деления используется для преобразования целого числа, записанного в q - нчной системе счисления, в р -ичную. В этом случае необходимо последовательно делить исходное q -ичное число и получаемые частные на новое основание р, представленное в q  -ичной системе счисления. Деление продолжают до тех пор, пока очередное частное не станет меньше р. После замены полученных остатков и последнего частного цифрами р -ичной системы счисления записывается код числа в новой системе счисления. При этом старшей цифрой является последнее частное, а следующие за ней цифры соответствуют остаткам, записанным в последовательности, обратной их получению.

Правило умножения используется для преобразования дробного числа, записанного в q -ичной системе счисления, в р -ичную. В этом случае необходимо последовательно умножать исходную дробь и дробные части получающихся произведений на основание р, представленное в исходной q -ичной системе счисления. Целые числа получаемых произведений, замененные цифрами р -ичной системы счисления, и дают последовательность цифр в новой р -ичной системе.

Умножение необходимо производить до получения в искомом р -ичном коде цифры того разряда, вес которого меньше веса младшего разряда исходной q -ичной дроби. При этом в общем случае получается код приближенно, и всегда с недостатком значения дроби. Поэтому в случае обратного преобразования (р -ичного кода дроби в q -ичный) результат может не совпадать с исходным значением q -ичной дроби.

Пример. Выполнить преобразование

Х₍₁₀₎ → Х₍₂₎, если Х_{10) =37,45

Для получения частных и остатков по правилу деления для целой части числа удобно использовать формулу записи, известную под названием «деление в столбик», а для получения р -ичного кода дробной части числа по правилу умножения — форму записи, известную под названием «умножение столбиком». Применительно к рассматриваемому примеру имеем:

37	2
36	18	2
1	18	9	2
←	0	8	4	2
	←	1	4	2	2
		←	0	2	1	- последнее частное
			←	0	↓
				←	←

целая часть Х₍₂) = 100101

↓	0,	45 х 2
↓	0	90 х 2
↓	1	80 х 2
↓	1	60 х 2
↓	1	20
↓	. . .	…

дробная часть Х₍₂) = 0,0111

Таким образом, в результате преобразования получаем 37,45₍₁₀₎ = 100101,0111... ₍₂₎

Как следует из примера, процесс перевода дробной части можно продолжить до бес-конечности. ЭВМ оперирует числами, представленными конечными наборами цифр. Поэтому дроби округляют в соответствии с правилами преобразования и весом младшего разряда исходной дроби.

Преобразование чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную, шестнад-цатеричную и обратно осуществляется по упрощенным правилам с учетом того, что основания этих систем счисления кратны целой степени 2, т. е. 8= 2³, а 16 = 2⁴ . Это означает, что при преобразовании восьмеричного кода числа в двоичный, необходимо каждую восьмеричную цифру заменить соответствующим трехзначным двоичным кодом (триадой).

При преобразовании шестнадцатеричного кода числа в двоичный необходимо каждую шестнадцатеричную цифру заменить четырехзначным двоичным кодом (тетрадой).

При преобразовании двоичного кода в восьмеричный или шестнадцатеричный двоичный код делится соответственно на триады или тетрады влево и вправо от запятой (точки), разделяющей целую и дробные части числа. Затем триады (тетрады) заменяются восьмеричными (шестнадцатеричными) цифрами:

Например: 1CD,4₍₁₆₎ = 000111001101,0100₍₂₎ = 0715,2₍₈₎.

Если при разбиении двоичного кода в крайних триадах (тетрадах) недостает цифр до нужного количества, они дополняются нулями. Соответственно, «лишние» нули слева и справа, не вошедшие в триады (тетрады) отбрасываются.