Система автоматического управления Митенков Ф.М., Чирков В.А

входящее в показатель экспоненты и определяющее "направление" и скорость изменения плотности нейтронов получило название периода реактора. Для значений , достаточно близких к 1 (что выполняется в большинстве практически интересных задач), можно записать, используя (3.2):

Используя (3.10), из (3.8) можно получить для периода реактора

Такое представление для периода реактора указывает возможные способы экспериментального определения через измеряемые величины.

Иногда вместо периода реактора используется понятие периода удвоения

. Связь между ними достаточно проста:

Очевидно, что период удвоения равен времени, в течение которого плотность нейтронов изменяется в два раза.

В таблице 3.1 приведены значения периодов для различных типов реак-

Из таблицы видно, что при наличии в реакторе только нейтронов деления, период реактора даже в тепловых реакторах был бы меньше 1 сек. при

.

Поддержание заданных режимов работы реактора и контролируемое их изменение при таких условиях, по-видимому, было бы невозможно.

Действительно, при в тепловом реакторе с l* = 10-4 сек. за время t = 10 сек. плотность нейтронов в реакторе возрастет в 2,2* 104 раз.

§ 3-2. Запаздывающие нейтроны.

Возможность надежного управления реактором в огромной степени облегчается благодаря существованию запаздывающих нейтронов.

Вотличие от нейтронов деления запаздывающие нейтроны появляются не непосредственно в результате деления ядер горючего, а в результате последующих радиоактивных превращений некоторых нестабильных ядеросколков деления.

На рис. 3.1 приведена одна из возможных цепочек радиоактивных превращений, приводящих к появлению запаздывающих нейтронов.

Вприведенном случае нейтрон испускается нестабильным ядром Kr87,

который, следовательно является непосредственным ядром-источником запаздывающих нейтронов, а ядро Br87 - предшественником.

41

Установлено, что существует шесть групп ядер-источников, значительно отличающихся по времени жизни . Соответствующие данные для U235 приведены в таблице 3.2.

Эффективное время жизни запаздывающих нейтронов складывается из времени жизни ядра-источника и собственного времени жизни запаздывающих нейтронов.

Если принять во внимание, что собственное время жизни запаздывающих нейтронов даже в больших тепловых реакторах много меньше времени жизни самого короткоживущего ядра-источника, то вполне допустимо считать во всех инженерных задачах, что эффективное время жизни запаздывающих нейтронов

42

совпадает со временем жизни ядер-источников.

Таким образом, в каждом поколении нейтронов небольшая доля делений, приходящаяся на запаздывающие нейтроны, значительно запаздывает по сравнению с основной долей делений, происходящих за счет нейтронов деления.

В результате эффективная жизнь данного поколения нейтронов как бы растягивается и становится равной:

. (3.13)

Нетрудно убедиться, что среднее время жизни нейтронов в реакторе с учетом запаздывающих увеличивается более чем в 100 раз.

Если заменить на в выражении (3.9), то получим, что плотность нейтронов увеличивается за 10 сек. не в 22* 104 раз, а только в 3 раза.

Для дальнейшего изложения необходимо сделать некоторые пояснения относительно доли запаздывающих нейтронов. Дело в том, что средняя энергия запаздывающих нейтронов, как это видно из таблицы 3.1 значительно меньше средней энергии нейтронов деления. Поэтому вероятность "поглотиться" или "утечь" в процессе замедления у запаздывающих нейтронов меньше, чем у нейтронов деления.

Следовательно и "ценность" запаздывающих нейтронов больше.

Если условно принять их ценность такой же, как и у нейтронов деления (что весьма удобно во многих расчетах), то необходимо увеличить долю запаздывающих нейтронов в отношении действительных ценностей запаздывающих нейтронов и нейтронов деления для данного реактора.

В таблице 3.4 в качестве иллюстрации приведены величины поправочного коэффициента ( для водо-водяного реактора с радиусом активной зоны 500 мм при различных соотношениях ядерной плотности водорода и U235.

Таблица 3.4

43

§ 3-3. Уравнения кинетики реактора.

Изменение плотности нейтронов в реакторе в простейшем случае описывается однопараметрическими уравнениями кинетики (точечная модель реактора).

При выводе этих уравнений используются следующие упрощающие предположения:

рассматривается гомогенная модель реактора без отражателя;

распределение нейтронов в реакторе описывается односкоростной

моделью;

энергетический спектр запаздывающих нейтронов принимается совпадающим со спектром мгновенных нейтронов.

(Фактическое различие спектров учитывается введением эффективной доли запаздывающих нейтронов);

время жизни нейтронов не зависит от состояния реактора;

изменения реактивности относительно критического состояния малы

иреализуются равномерно по всему объему реактора.

Следует заметить, что, несмотря на использование перечисленных выше упрощений при выводе уравнений кинетики, последние остаются достаточно хорошим приближением и для гетерогенных реакторов, и реакторов с отражателями, хотя ряд особенностей детального описания нестационарных процессов в этом случае не находит отражений.

Односкоростное нестационарное уравнение диффузии можно записать следующим образом:

D- коэффициент диффузии;

-макроскопическое сечение поглощения тепловых нейтронов.

Первый член в правой части этого уравнения характеризует утечку тепловых нейтронов в процессе диффузии, второй - поглощение, третий 5(г, г}- генерацию тепловых нейтронов. Количество тепловых нейтронов, образующихся в единице объема реактора в единицу времени, складывается из замедлившихся до тепловой энергии мгновенных и запаздывающих нейтронов.

Тогда скорость генерации тепловых нейтронов за счёт замедления мгновенных нейтронов определяется выражением:

44

где - вероятность того, что нейтрон избежит утечки в процессе замедления;

τ- возраст нейтронов;

-геометрический параметр.

Скорость генерации запаздывающих нейтронов i-й группы равна скорости распада соответствующего предшественника, т.е. , где - постоянная распада, - концентрация ядер - предшественников i-й группы.

Скорость генерации тепловых нейтронов от замедления запаздывающих

равна:

где - вероятность избежать резонансного захвата*.

(*Величины и в общем случае различны для каждой группы запаздывающих нейтронов. Учитывая поправку на ценность, будем считать эти величины такими же как для мгновенных нейтронов.)

Подставив выражения (3.15) и (3.16) в уравнение (3.14) и учитывая наличие внешнего источника нейтронов получим:

. (3.17)

Изменение концентрации ядер-предшественников i-й группы определяется уравнением:

(3.18)

Предположим, что реактор выводится из стационарного состояния малым скачкообразным изменением коэффициента размножения, остающимся в дальнейшем неизменным. Если реактор достаточно близок к критическому состоянию, то нейтронный поток с хорошей степенью точности может быть описан основным решением волнового уравнения, а пространственная и временная координаты могут быть разделены, т.е.

. (3.19)

Из этих соотношений следует, что

45

. (3.20)

Из физических соображений очевидно, что концентрация предшественников должна быть пропорциональна потоку нейтронов как функции пространственной координаты. Если учесть также, что длина пробега осколков деления много меньше длины пробега нейтронов, то можно принять, что мгновенные и запаздывающие нейтроны рождаются в одной и той же точке и

(3.22)

(3.23)

Введем следующие общепринятые обозначения:

a) среднее время жизни мгновенных нейтронов в бесконечной среде

(3.24)

где - скорость нейтрона;

b) вероятность избежать утечки нейтронов в процессе замедления и диффузии

(3.25)

-вероятность избежать утечки в процессе диффузии;

c)среднее время жизни мгновенных нейтронов с учетом конечных размеров реактора

(3.26)

46

d) эффективный коэффициент размножения

(3.27)

Переходя к принятым обозначениям в уравнениях (3.22) и (3.23) и учитывая, что для односкоростной модели , получим однопараметрические уравнения кинетики:

(3.28)

Здесь принято:

- эффективная концентрация ядер-предшественников, т.е. концентрация предшественников тех запаздывающих нейтронов i-й группы, которые замедлятся до тепловой энергии, избежав резонансного захвата и утечки. Уравнения нейтронной кинетики (3.28) можно использовать также для описания изменения мощности реактора. Переход от плотности нейтронов к мощности выполняется согласно (3.6). Иногда систему (3.28) записывают, используя определение реактивности (3.2) и малое отличие kэф от I:

(3.29)

Полученные уравнения (3.28) иди (3.29) представляют систему семи дифференциальных уравнений, содержащих восемь неизвестных функций. Сис-

Необходимо отметить, что уравнения кинетики нелинейны, поскольку kэф и, соответственно, ρ зависят, вообще говоря, и от времени, и от уровня мощности реактора, т.е. от плотности нейтронов. Аналитическое решение системы уравнений (3.28, 3.29) в общем случае невозможно. Однако имеются частные случаи, когда такое решение может быть получено. Ценность таких решений заключается в том, что они позволяют выявить ряд качественных особенностей в поведении реактора, имеющих общее значение. Ниже приводится ряд таких решений.

47

§ 3-4. Кинетика при постоянной реактивности.

При значении соотношения (3.29) представляют систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, для которой можно получить точное решение. Отображая систему в пространство изображений по Лапласу, получим* (* Здесь и в дальнейшем метка над обозначением эффективной концентрации предшественников опускается.) систему линейных алгебраических уравнений (внешний источник нейтронов опускаем, поскольку учет его не изменяет результатов решения):

функция

(3.31)

где

(3.32)

представляет характеристический полином системы, и

(3.33)

Характеристическое уравнение системы

(3.34)

связывающее величину S с ядерными свойствами реактора, является алгебраическим уравнением седьмой степени относительно S. Правая часть уравнения имеет полюсы при значениях . Качественный характер решений уравнения (3.34) показан на рис. 3.2.

48

где

49