§ 22. Производная по заданному направлению. Градиент

Из определения частных производных и из механического смысла 1-й производной следует, что ихарактеризуют скорость изменения функциив положительном направлении осейОх иОу соответственно. Но в ряде приложений математического анализа приходится рассматривать вопрос о быстроте изменения функциипри смещении точкив произвольном направлении. Решение этого вопроса приводит к понятию производной функции по заданному направлению.

у

l

у M

О х х

Пусть в некоторой области D задана функция двух переменных. Возьмем вD точкуи проведем через нее прямуюl. Придадим ей определенное направление. Пусть– точка прямойl, лежащая вD и такая, что отрезокпринадлежитD. Разностьназовем приращением функциипо данному направлениюl и обозначим ее через, т.е.. Составим

отношение , взяв длину отрезкасо знаком плюс, если направление этого отрезка совпадает с прямойl, и со знаком минус в противном случае. Это отношение называют средней скоростью изменения функциипри переходе из точкив точкуМ по направлениюl.

Если существует

,

то он называется производной в точке от функциипо направлениюlи обозначаетсяили.

Эту производную естественно рассматривать как скорость изменения функции в данной точкепо направлению прямойl. При этомопределяет величину скорости, а знак производной – возрастание (прии убывание (прифункциив направленииl.

Если прямая l совпадает сОх илиОу, то получаем частные производныеисоответственно, т.е. производная по направлению является обобщением частных производных.

Установим достаточные условия существования производной по направлению и формулу для ее вычисления.

Теорема. Если функциядифференцируема в точкеобластиD, то она имеет в этой точке производную по любому направлениюl, причем

, (22.1)

где и– углы, образованные направлением прямойl соответственно с положительными направлениями осейОх иОу.

Доказательство. В силу дифференцируемости функциив точкеприращениеможно записать в виде

,

где при. Отсюда

см. рисунок.

Поскольку ипостоянны, а(так каки), имеем

,

т.е. производная существует и

.

Теорема доказана.

В случае функции большего числа переменных производная по направлению определяется и вычисляется аналогично. Например, для функции

,

где – направляющие косинусы прямойl.

Для изучения вопроса о направлении быстрейшего возрастания функции введем в рассмотрение вектор с координатамии. Этот вектор называетсяградиентом функциив точкеи обозначается, а в произвольной точкеили. Таким образом,

,

где производные ивычислены в соответствующей точке.

Предположим, что функция дифференцируема в некоторой области. Тогда в любой точкеэтой области существует производнаяпо любому направлениюl, определяемая по формуле (22.1). Выразим эту производную через градиент данной функции. Рассмотрим единичный вектор, имеющий то же направление, что и прямаяl. Ясно, что проекциинаОх иОу равныи, т.е.

l

. Тогда очевидно, что– скалярное произведение, или

, так как, где– угол между векторамии. Таким образом, производная по направлению равна проекции градиента на это

направление.

Из последней формулы видим, что производная по направлению в точкеимеет наибольшее значение, и притом положительное, при, т.е. когда производная функции в точкеберется по направлению, определяемому градиентом этой функции в точке. При этом

.

Таким образом, модуль градиента дифференцируемой функции равен наибольшему значению , т.е. наибольшей скорости изменения функцииz в данной точке, а направление градиента данной функции в рассматриваемой точке совпадает с тем, для которого это наибольшее значениедостигается. Ясно, что направление, противоположное градиенту, является направлением наиболее быстрого убывания функции.

Пример 1. Найдем производную функциив точке М(1;2) в направлении, идущем от этой точки к точкеN(4;6).

Решение. Имеем, т.е., частные производные функциипоэтому.

Ответ: .

Пример 2. Найдемв точкеМ(1;2;3), если.

Решение. Имеем.