§ 21. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

В

где функции дифференцируемы на отрезке. Возьмеми соответствующую ему точкуМ кривой. Дадимtприращениетакое, что. Обозначим соответствующую точку черезN. Проведем секущуюMN. Ее уравнение (см. аналитическую геометрию)

,

ыведем сначала уравнение касательной к пространственной кривой в заданной точке. Пусть кривая задана параметрически уравнениями,

z

N

М

О у

х

где Х,Y,Z – текущие координаты прямой (секущей). Разделим все знаменатели на:

.

Ясно, что секущая займет положение касательной, когда точка N совпадет с точкойМ при стремленииN кМпо кривой. Следовательно уравнение касательной получится тогда, когда перейдем к пределу при, получим

– (21.1)

искомое уравнение касательной.

Замечание.В случае плоской кривойи уравнение касательной прямой, очевидно, имеет вид.

Теперь получим уравнение касательной плоскости к поверхности в

т

z

N T

M

S

x

y

очке. Пусть функциядифференцируема в точкеМ. Проведем через

точку М линиюMS, принадлежащую поверхности. Пусть ее уравнение в параметрической форме будет. Если функциих(t),у(t),z(t) дифференцируемы в точкеt, которой соответствует точкаМ, то уравнение касательнойMT к кривойMS имеет вид (21.1). Поскольку криваяMS принадлежит поверхности, имеем. Отсюда

(21.2)

в точке М. Введем в рассмотрение прямуюMN:

, (21.3)

где вычислены в точкеМ. Из (21.1), (21.2) и (21.3) видим, что прямыеMT иMN перпендикулярны. Поскольку прямаяMN не зависит от выбора кривойMS (зависит только от уравнения поверхности и от точкиМ), прямаяMN перпендикулярна касательной к любой кривой на поверхности, проходящей через точкуМ. Поэтому все эти касательные лежат в одной плоскости. Эта плоскость и называетсякасательной плоскостью к данной поверхности в точкеМ. Из аналитической геометрии известно, что уравнение плоскости, проходящей через точкуи перпендикулярной прямой (21.3), имеет вид

. (21.4)

Прямая MN, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания, называетсянормалью к поверхности в точкеМ. Уравнение нормали имеет вид (21.3).

Если поверхность задана уравнением , то представляем его в виде. Тогдаи уравнение касательной плоскости примет вид

.

Пример. Найдем уравнения касательной плоскости и нормали к поверхностив точке.

Решение. Имеем, поэтому уравнение касательной плоскости (21.4) имеет вид

или, т.е.(здесь– координаты текущей точки касательной плоскости).

Уравнение нормали: .