- •§ 18. Понятие, предел и непрерывность функции нескольких переменных
- •§ 19. Частные производные и дифференциал функции нескольких переменных
- •§ 20. Экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
- •§ 21. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •§ 22. Производная по заданному направлению. Градиент
- •§ 23. Неявные функции, их дифференцирование
§ 20. Экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
Определение 1. Точканазываетсяточкой максимума (точкой минимума) функции, если существует такая окрестность точки, для всех точеккоторой выполняется неравенство
или(20.1)
(соответственно, или.
Для функций большего числа переменных точки максимума и минимума определяются аналогично.
Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Если функцияимеет в точкеконечные частные производные и эта точка является точкой экстремума, то обе частные производные в точкеравны нулю.
Доказательство. Пусть функцияв точкеимеет максимум. Зафиксируем значение, тогда функциябудет функцией одной переменнойх, для которой в некоторой окрестности точкивыполняется неравенство, т.е.− точка максимума функции одной переменной. Тогда должно быть.
Аналогично показывается, что .
Теорема доказана.
Аналогичная теорема справедлива и для функции большего числа переменных.
Таким образом, экстремум может быть только в тех точках, в которых частные производные равны нулю или не существуют, т.е. в критических точках. Но не всякая критическая точка является точкой экстремума. Установим достаточные условия существования экстремума для функции двух переменных.
Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Если функцияв некоторой окрестности точкиимеет частные производные до второго порядка включительно, причем,, а вторые частные производные непрерывны в точке, то функцияв этой точке:
1) при имеет максимум, еслии минимум, если;
2) при не имеет экстремума.
Без доказательства.
Таким образом, для отыскания точек экстремума функции двух переменных нужно вычислить ее частные производные, из системы уравненийнайти стационарные точки, вычислить значения вторых производных в этих точках и проверить знак. Если, то прив стационарной точке – минимум функции, при− максимум. Если, то стационарная точка не является точкой экстремума. Если, то исследовать стационарную точку на экстремум нужно с помощью производных высших порядков.
Пример 1. Исследуем на экстремум функцию.
Решение. Имеем,,т.е. стационарная точка одна:. Поскольку, то– точка экстремума функции, причем в этой точке функция имеет максимум, так как,.
Пусть теперь функция определена и непрерывна в замкнутой ограниченной областиD. Тогда по теореме Вейерштрасса она принимает в какой-то точкеобласти наибольшее значение и в точке– наименьшее значение. Еслиили(или обе точки) – внутренние, то они являются точками экстремума функции. Кроме того, наибольшее (наименьшее) значение функция может принимать и на границе областиD.
Таким образом, нужно найти значения функции в критических точках и сравнить их со значениями функции на границе D. Наибольшее (наименьшее) из полученных значений и будет наибольшим (наименьшим) значением функции в замкнутой областиD.
Пример 2. Найдем наибольшее и наименьшее значения функциив треугольнике, ограниченном сторонами.
Р
3 А
критические точки функции. Имеем
,.
Частные производные существуют в каждой
точке, поэтому достаточно найти
стационарные точки функции,
у
(D)
В
О
3
х
т.е. решить систему уравнений
. Внутри области лежит лишь точка(так как на сторонеАВ находится точка), которая и является стационарной точкой функции. .
Изучим поведение функции на границе треугольника. На сторонах ОА иОВ, очевидно, , на сторонеАВ , поэтому, . Из подчеркнутых значений функции выбираем наибольшее и наименьшее значения:,.