Задача 3.1.

Задано поле перемещений S=Ui+Vj+Wk, направлениеn.

Требуется:

1. Определить компоненты тензора напряжений в точке и записать его.

2. Графически изобразить деформацию единичного куба в виде рисунков трех проекций куба на плоскости xOy,xOzиyOzс учетом полученных знаков линейных и угловых деформаций.

3. Определить относительное удлинение _nв заданном направленииn.

Дано:

U=0.001x-0.003y+0.005z

V=0.001y-0.003z

W=-0.002x-0.001y-0.003z

n=0.6j-0.8k

Решение.

_x=(0.001x-0.003y+0.005z)/x=0.001 – вдоль оси Ох материал растянулся в 0.001 раз.

_y=(0.001y-0.003z)/y=0.001 – вдоль оси Оyматериал растянулся в 0.001 раз.

_z=(-0.002x-0.001y-0.003z)/z=-0.003 – вдоль оси Оzматериал сжался в 0.003 раза.

_xy=_yx=(0.001x-0.003y+0.005z)/y+(0.001y-0.003z)/x=-0.003 – в плоскостиxOyмежду деформируемыми сторонами материала образовался тупой угол.

_xz=_zx=(0.001x-0.003y+0.005z)/z+(-0.002x-0.001y-0.003z)/x=0.003 – в плоскостиxOzмежду деформируемыми сторонами материала образовался острый угол.

_yz=_zy=(0.001y-0.003z)/z+(-0.002x-0.001y-0.003z)/y=-0.004 – в плоскостиzOyмежду деформируемыми сторонами материала образовался тупой угол.

S=	0.001	-0.0015	0.0015
	-0.0015	0.001	-0.002
	0.0015	-0.002	-0.003

Графически изобразим угловые и линейные деформации.

Определим относительное удлинение в заданном направлении nс помощью компонентов тензора деформации и заданных направляющих косинусов.

n=0.6j-0.8k, где

l=0, m=0.6, n=-0.8

_n=_xl²+_ym²+_zn²+_xylm+_yzmn+_xzln

_n=0.0010²+0.0010.6²-0.003(-0.8)²-0.00300.6+0.0030(-0.8)-0.0040.6(-0.8)=0.00036 – во столько раз произошло удлинение материала в заданном направленииn.

Обобщенный закон Гука.

Гук экспериментально установил связь между напряжением и деформацией, возникающей в материале под действием внешних сил.

Используя закон Гука, можно определить угловые и линейные деформации.

 _x=1/E[_x-(_y+_z)]

 _y=1/E[_y-(_x+_z)]

 _z=1/E[_z-(_y+_x)],

где Е – модуль упругости при растяжении и сжатии,

 - коэффициент Пуассона

_xy=_xy/G,_xz=_xz/G,_yz=_yz/G,

где G– модуль упругости при сдвиге.

G=E/[2(1+)]

Задача 4.

В точке абсолютно упругой сплошной среды заданы компоненты тензора напряжений, а также модуль упругости Е и коэффициент Пуассона материала.

Требуется:

1. Определить относительные линейные деформации _x,_y,_zи углы сдвига_xy,_xz,_yz.

2. Записать тензоры напряжений и деформаций.

3. Графически изобразить линейные и угловые деформации единичного куба.

Дано:

_x=-1100 Па,_y=900 Па,_z=950 Па

_xy=150 Па, _yz=250 Па, _xz=-300 Па

E=1,7 МПа,=0,3

Решение.

По данным задачи запишем тензор напряжений

P=	-1100	150	-300
	150	900	250
	-300	250	950

Закон Гука устанавливает связь между напряжением и деформациями, возникающими в материале под действием нагрузок. Используя этот закон, определим линейные и угловые деформации.

_x=1/(1,710⁶) [-1100-0,3(900+950)]=-0,9810^-3– сжатие материала вдоль оси Ох

_y=1/(1,710⁶) [900-0,3(-1100+950)]=0,5610^-3– растяжение материала вдоль оси Оу

_z=1/(1,710⁶) [950-0,3(900-1100)]=0,5910^-3– растяжение материала вдоль оси Оz

G=1,710⁶/2(1+0,3)=0,6510⁶– модуль упругости при сдвиге

_xy=150/(0,6510⁶)=0,2310^-3– острый угол между осями

_yz=250/(0,6510⁶)=0, 8310^-3– острый угол между осями

_xz=-300/(0,6510⁶)=-0.4610^-3– тупой угол между осями

Запишем тензор деформаций

S=	-0,98	0,12	-0,23	10-3
	0,12	0,56	0,19
	-0,23	0,19	0,59

Деформацию куба последовательно изобразим на нескольких рисунках.