Исследование напряженного состояния в точке абсолютно упругого тела. Задача 2.3.

Заданы проекции P_nx,P_ny,P_nzвектора напряжений в точке М по наклонной площадке, направляющие косинусы l, m,nуглов единичного вектора внешней нормали к этой площадке.

Требуется:

1. Найти нормальное и касательное напряжение, действующее по площадке.

2. Графически изобразить площадку и векторы n,P_n,_nи_n.

3. Записать тензор напряжений, если известно, что _x=-2_y=3_z;_xy=-2_xz.

Дано:

P_nx=4 МПа,P_ny=-7 МПа,P_nz=9 МПа,l=3/7,m=-2/7,n=-6/7.

Решение.

Найдем нормальное и касательное напряжения. Для этого воспользуемся формулами:

_n=P_n·n=P_nx·l+P_ny·m+P_nz·n

_n=P_n²-_n²

P_n=P_nx²+ P_ny²+ P_nz²

_n=4*3/7+(-7)(-2/7)+9(-6/7)=-4 (МПа)

P_n=4²+(-7)²+9²=194=13,93 (МПа)

_n=194-16=178=13,34 (МПа)

Для графического изображения наклонной площадки используются направляющие косинусы. Нормальное уравнение плоскости имеет вид:

x·l+y·m+z·n-p=0, гдеp– расстояние от плоскости до начала координат.

Пусть p=1, тогда уравнение плоскости в отрезках на осях примет вид:

x/(1/l)+y/(1/m)+z/(1/n)=1, где

1/l=a, 1/m=b, 1/n=c– отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат с учетом знака. По этим отрезкам необходимо построить наклонную площадку (только для случая, когда заданы все 3 направляющих косинуса).

Если вектор единичной нормали к наклонной площадке задан 2 направляющими косинусами, это значит, что нормаль лежит в одной из координатных плоскостей, а наклонная площадка проходит через координатную ось, перпендикулярную этой координатной плоскости. В этом случае единичный вектор нормали строится по его проекциям, численно равным направляющим косинусам, а наклонная площадка проводится перпендикулярно единичному вектору через координатную ось, перпендикулярную плоскости, в которой лежит нормаль.

1/l=7/3, 1/m=-7/2, 1/n=-7/6

Рассчитаем компоненты тензора напряжений и запишем его. Для этого воспользуемся заданным условием _x=-2_y=3_z;_xy=-2_xz.

P=	x	xy	xz
	yx	y	yz
	zx	zy	z

Для любой наклонной по отношению к координатным осям площадки, проходящей через точку , проекции на оси x,y,zполного напряжения определяются таким образом:

P_nx=_xl+_xym+_xzn,

P_ny=_yxl+_ym+_yzn,

P_nz=_zxl+_zym+_zn,

где l,m,n– направляющие косинусы.

4=3/7 _x – 2/7_xy – 6/7_xz

-7=3/7 _yx – 2/7 _y – 6/7 _yz

9=3/7 _zx– 2/7_zy– 6/7_z

Воспользовавшись заданным условием (_y=-½_x,_z=1/3_x,_xy=-2_xz), получим

4=3/7 _x + 4/7_xz – 6/7_xz

-7=-6/7 _xz+ 1/7_x – 6/7_yz

9=3/7 _zx– 2/7_zy–2/7_x

Решив эту систему, получим

_x=3,31 (МПа)

_xz=-9,03 (МПа)

_yz=-29,69 (МПа)

Тогда

_y=-1,66 (МПа)

_z=1,1 (МПа)

_xy=18,06 (МПа)

И искомый тензор напряжений запишется

P=	3,31	18,06	-9,03
	18,06	-1,66	-29,69
	-9,03	-29,69	1,1

Исследование деформированного состояния в точке абсолютно упругого тела.

Деформированное состояние тела в точке определяется тензором деформаций, который имеет вид.

S=	x	½xy	½xz
	½yx	y	½yz
	½zx	½zy	z

где _x,_y,_z – относительное удлинение вдоль осейx,y,z(линейные деформации);

_xy=_yx,_xz=_zx,_yz=_zy– углы сдвига в координатных плоскостяхxy,xzиyz(угловые деформации).

Компоненты тензора деформаций выразим через заданные компоненты перемещений, используя для этого уравнения Коши (устанавливающие связь между перемещением и деформацией).

_x=U/x, _y=V/y, _z=W/z;

_xy=_yx=U/y+V/x, _xz=_zx=U/z+W/x, _yz=_zy=V/z+W/y.

Если при вычислении компонентов линейной деформации результат получим со знаком «–», то это значит, что произошло сжатие материала; если «+», то растяжение.

Если при вычислении компонентов угловой деформации получим результат с минусом, то это означает, что прямой угол, образованный в этой плоскости соответствующими координатными осями, превращается в тупой (т.е. увеличивается); если результат с плюсом – угол превращается в острый (уменьшается).