Тема 32. Уравнения Колмогорова

1.2. Системы массового обслуживания с отказами

Задача 1.2.1. Справочное бюро города Химки располагает n каналами связи, которые обслуживают такое же число операторов-телефонисток. В среднем за 1 час за справкой обращается λ клиентов, а обслуживание одного клиента занимает в среднем TОБСЛ минут. Различные варианты данных приведены в таблице 2.1.

Таблица 2.1.

№ вар.	1	2	3	4
tобс	3	2	3	2
n	3	4	5	6
λ	60	90	80	180

Выполните следующие задания.

1. Изобразите граф состояний СМО.

2. Составьте уравнения Колмогорова для финальных вероятностей.

3. Найдите финальные вероятности всех состояний.

4. Определите основные показатели работы СМО с отказами:

1) вероятность отказа PОТК;

2) вероятность обслуживания ПОБСЛ;

3) плотность потока обслуживания λ ЭФФ;

4) плотность потока отказов λ ОТК;

1.3Системы массового обслуживания с ограниченной очередью.

Задача 1.3.1. На АЗС установлены n бензоколонок и имеется автомобильная стоянка, рассчитанная на m автомобилей. Стоянка на проезжей части в районе АЗС запрещена. Заправка одного автомобиля занимает в среднем t_обс минут. За 1 час в среднем для заправки подъезжает λ автомобилей. Для заправки 1 автомобиля требуется в среднем V литров бензина, средняя цена которого равна C рублей за 1 литр. Продолжительность рабочего дня равна t_дн часов, и прибыль составляет P% от оборота. Установка дополнительной бензоколонки обходится в K рублей и уменьшает вместимость m автомобильной стоянки на 1 автомобиль. Данные по вариантам приведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1.

№ вар.	1	2	3	4
n	4	5	3	6
m	5	6	7	6
tобс	10	15	6	12
λ	20	20	36	30
V	25	25	30	35
C	2	2,5	2,3	2,4
tдн	10	10	12	12
P%	10	10	15	12
K	60000	90000	45000	50000

Выполните следующие задания.

1. Изобразите граф состояний СМО.

2. Составьте уравнения Колмогорова для финальных вероятностей.

3. Найдите финальные вероятности всех состояний.

4. Определите основные показатели работы СМО с очередью:

1) вероятность отказа P_отк;

2) вероятность обслуживания P_обс;

3) плотность потока обслуживания λ _эфф;

4) плотность потока отказов λ _отк;

5) среднее число занятых каналов K_ср;

6) среднее число простаивающих каналов K_пр;

Задача 1.3.2. Парикмахер Михаил Вздорнов накопил первоначальный капитал S_кап и решил открыть свой салон “New Image” в Москве. Для этого он приобрел помещение с полезной площадью S [м²] по цене C [рублей/ м²]. Для оборудования одного рабочего места мастера требуется площадь S_р [м²] и сумма капитальных вложений V_р [рублей], а для создания одного места отдыха клиентов – S_о [м2] и V_о [рублей]. Проведенное статистическое исследование показало, что средняя плотность потока посетителей равна λ [клиентов/час]. Среднее время обслуживания клиента мастером составляет t_обс [минут], а продолжительность рабочего дня t_дн [час]. При этом заработная плата мастера равна S_зп [рублей], и средняя цена обслуживания одного клиента – C_кл [рублей]. Издержки на содержание помещения и оборудования, закупку необходимых материалов, НДС и т.п. составляют P_из [%] от цены C_кл, налог на фонд заработной платы – P_зп [%]. В салоне оборудовано n рабочих мест и m мест для отдыха.

Данные по вариантам приведены в таблице 3.3.

Таблица 3.3.

№ варианта	1	2	3	4
Sкап	490000	370000	240000	1000000
S	110	90	65	150
C	4000	3600	3000	6000
SР	10	8	6	12
VР	7000	6000	5000	10000
SО	7	6	4	9
VО	1500	1400	1300	2500
λ	9	16	14	25
tобс	20	15	18	24
tдн	12	10	9	8
Sзп	1000	1100	900	1200
Cкл	50	60	45	80
Pиз	60	55	50	45
n	4	5	6	8
m	10	8	6	4

Выполните следующие задания.

I. Для данных в таблице 3.3 чисел n и m:

1. изобразите граф состояний СМО;

2. составьте уравнения Колмогорова для финальных вероятностей;

3. определите финальные вероятности всех состояний;

4. найдите показатели работы салона как СМО с очередью:

1) вероятность отказа P_отк,

2) вероятность обслуживания P_обс,

3) плотность потока обслуживания λ _эфф,

4) плотность потока отказов λ _отк,

5) среднее число занятых каналов K_ср,

6) среднее число простаивающих каналов K_пр,

7) коэффициент использования каналов обслуживания k_исп,

8) коэффициент простоя каналов обслуживания k_пр,

9) среднюю длину очереди М_ср,

10) среднее время заявки в очереди T_оч;

5. Найдите ежемесячную прибыль фирмы F_Ф;

6. Определите время окупаемости сделанных М. Вздорновым капитальных вложений t_ок.

II. Считая, что вся незанятая рабочими местами полезная площадь отводится для оборудования мест отдыха клиентов:

1. найдите оптимальное сочетание числа рабочих мест n и числа мест m для отдыха клиентов, дающее максимальную прибыль,

2. определите срок окупаемости t_ок для оптимальных значений m и n.

Литература: [4, 12, 15, 17]

Учебно-методическая литература: [8]