11. Уравнения магнитостатики

В векторном анализе теоремой Стокса называется формула

∮ B→dl→ = ∫ rotB→dS→,

(34.1)

где интегрирование в правой части выполняется по произвольной поверхности, натянутой на замкнутую кривую, по которой вычисляется контурный интеграл в левой части, причем направление обхода контура связано правилом правого винта с направлением элемента поверхности dS→. В таком виде теорема Стокса справедлива для любого вектора B→, в общем случае никак не связанного с магнитным полем. Чтобы доказать теорему (34.1), нужно ввести какое-нибудь определение оператора ротора rot. Однако и само равенство (34.1) можно принять в качестве инвариантного, т.е. не зависящего от выбора системы координат, определения rot.

Действительно, рассмотрим какой-нибудь контур вблизи заданной точки пространства (например, вблизи начала координат), столь малый, что изменением rotB→ на размерах площадки ΔS→, натянутой на контур, можно пренебречь. Тогда из (34.1) имеем:

∮ B→dl→ = rotB→ΔS→.

(34.2)

Поскольку левая часть последнего уравнения есть скаляр, а ΔS→ есть вектор, то и rotB→ является вектором. Все компоненты этого вектора можно определить, ориентируя нормаль ΔS→∕ΔS к площадке ΔS попеременно вдоль каждой из координатных линий xi, как показано на рис. ??. При этом значение i-той компоненты вектора rotB→ есть предел

(rotB→)i = limΔSi→0 ∮ iB→dl→ ΔSi

(34.3)

при стремлении величины площади ΔSi контура i к нулю. В декартовой системе координат индекс i пробегает значения x, y, z. Рассматривая маленькие прямоугольники, лежащие соответственно в координатных плоскостях yz, zx, zyнетрудно записать выражение для ротора в декартовой системе координат: (rotB→)x = ∂By ∂z −∂Bz ∂y , (rotB→)y = ∂Bz ∂x −∂Bx ∂z , (34.4) (rotB→)z = ∂Bx ∂y −∂By ∂x . Тем же способом можно найти выражение для ротора вектора в произвольной ортогональной системе координат (см. задачу ??). Таким образом, выполнение равенства для малого контура тривиальным образом следует из определения ротора произвольного вектора в произвольной системе координат. Обобщение равенства (34.1) на случай контура произвольного размера далее проводится точно так, как мы доказывали теорему Стокса в предыдущем параграфе33. Доказательство строится на том факте, что при при объединении двух контуров, контурные интегралы по общим участкам взаимно сокращаются.

Применим теперь равенство (34.1) к теореме Стокса (33.3) и преобразуем контурный интеграл в левой части к интегралу по поверхности, натянутой на этот контур.

∫ rotB→dS→ = 4π c I .

Правую часть полученного уравнения также преобразуем к поверхностному интегралу, выразив полный ток I через сечение контура через плотность тока j→:

∫ rotB→dS→ = 4π c j→dS→.

Поскольку последнее равенство, должно выполняться для произвольных, в том числе и бесконечно малых площадок, из него следует равенство подынтегральных выражений в правой и левой частях уравнения:

rotB→ = 4π c j→.

(34.5)

Полученное векторное уравнения содержит 3 скалярных уравнения для определения 3-х компонент вектора B→, что вполне достаточно. Однако решение уравнения (34.5) неоднозначно. В этом легко убедиться, если заметить, что к найденному (каким-либо образом) решению B→ можно прибавить градиент∇χ произвольной скалярной функции χ, но левая часть уравнения (34.5) при этом не изменится, так как rot∇χ = 0.

Еще одно уравнение, необходимое для устранения этой неоднозначности, найдем, вычислив дивергенцию вектора B→. Она равна нулю:

divB→ = 0.

(34.6)

Чтобы убедиться в этом достаточно вычислить дивергенцию магнитного поля dB→, создаваемое элементом тока di→; равенство (34.5) будет следствием принципа суперпозиции. Согласно (32.1),

dB→ = 1 c [di→,r→] r3 .

Таким образом, необходимо проверить, что div[di→,r→∕r3] = 0. Здесь дифференцированию подлежит только второй сомножитель r→∕r3 векторного произведения; его можно записать в виде градиента функции 1∕r: r→∕r3 = −∇(1∕r). Если теперь записать рассматриваемое выражение в виде смешанного произведения∇⋅[∇(1∕r),di→] и сделать в нём циклическую перестановку множителей, получим выражение di→⋅[∇,∇(1∕r)] = di→⋅rot∇(1∕r), которое очевидным образом равно нулю, поскольку ротор градиента произвольной скалярной функции равен нулю тождественно. Тем самым, справедливость уравнения (34.6) доказана. Совместно с уравнением (34.5) оно составляет замкнутую систему уравнениймагнитостатики, однозначно определяющую магнитное поле заданной системы токов (при заданных граничных условиях).

Из уравнения (34.6) следует, что поток магнитного поля через произвольную замкнутую поверхность равен нулю:

∮ B→dS→ = 0.

(34.7)

Чтобы доказать это, достаточно проинтегрировать обе части уравнения (34.6) по объему, ограниченному поверхностью:

∫ divB→dV = 0.

а затем преобразовать объемный интеграл в левой части к поверхностному интегралу при помощи теоремы Остроградского-Гаусса (6.1).