88. Системы линейных дифферинциальных уравнений. (к2-84)

Системы ЛОДУ: Система-1:

y’₁=a₁₁y₁+a₁₂y₂+...+a_1ny_n

y’₂=a₂₁y₁+a₂₂y₂+...+a_2ny_n

y’₁=a₁₁y₁+a₁₂y₂+...+a_1ny_n

......................................

y’_n=a_n1y₁+a_n2y₂+...+a_nny_n ;

a_i,j=const; i,j=1..n

¾ это система ЛОДУ в нормальной форме

[a₁₁ a₁₂ ... a_1n] (y₁’) (y₁)

A=[................]; y’=(y₂’); ¢=(y₂);

[a_n1 a_n2 ... a_nn] (y₃’) (y₃)

y’=A¢ (1’); y₁=g₁e^l1x ; y₂=g₂e^l2x ; ... ; y_n=g_ne^lnx ;

(g₁)

g^~=(g₂); y^j=g^-je^ljx; ¢=g^~e^lx;y’=lg^~e^lx; lg^~e^lx=Ag^~e^lx;

(..)

(g_n)

(A-lE)g^~=0; |A-lE|=0 => ненулевое решение

|a₁₁-l a₁₂ a_1n | ¾ характеристическое уравнение

| a₂₁ a₂₂-l a_2n |=0 => n корней

|...................|

|a_n1 a_n2 a_nn-l|

1. Система:

(a_n-l₁)g₁⁽¹⁾+a₁₂g₂⁽¹⁾+...+a_1ng_n⁽¹⁾ = 0

.....................................................

a_n1g₁^(j)+a_n2g₂^(j)+...+(a_nn-l)g_n^(j) = 0 ;

y=c₁y₁+c₂y₂+...+c_ny_n;

2. Среди характеристических чисел (корней) есть комплексные числа:

l=a+bt; l=a-bt; g=u+iv ;

y=ge^lx=(n+iv)e^(a+bi)x = (u+iv)(cosbx+sinbx)e^ax=e^ax(4cosbx-vsinbx)+ie^ax(vcosbx+4sinbx);

3. Среди характеристических корней есть кратные:

Пусть l ¾ корень кратности k;

¢=(d₁₀+d₁₁x+d₁₂x²+...+d_1(i-1)x^(i-1)e^x2 ;

¢₁=(d₁₀⁽¹⁾+d₁₁⁽¹⁾x+...)e^l1x ; ¢₂=(d₁₀⁽²⁾+d₁₁⁽²⁾x+...)e^l2x ;