68. Формула Грина. Вычисление площади с помощью формулы Грина. (к3-33)

Формула Грина мвязывает криволинейный интеграл по гладкой замкнутой кривой с двойным интегралом по области D, границей которой является L.

Если P и Q ¾ непрерывно дифференцируемы вместе со своими частными производными => ’Pdx+Qdy {L} = òò(дQ/дx + дP/дy)dxdy {D};

Область D ¾ положительно ориентирована, если при движении по её границе она остаётся слева.

D ¾ область первого типа, если она ограничена сверху y=j₂(x), снизу y=j₁(x), слева x=a, справа x=b;

D ¾ область второго типа: лево ¾ x=Y₁(y), право ¾ x=Y₂(y), низ ¾ y=c, верх ¾ y=d

Д-во: òò(дP/дy)dxdy {D}=ò{a; b}dxò{j₁(x), j₂(x)}(дP/дy)dy=

=ò{a; b}P(x, y)|{j₁(x), j₂(x)}dx=ò{a; b}P(x, j₂(x))dx - ò{a; b}P(x, j₁(x))dx=

= - ò{L₂}P(x,y)dx - ò{L₁}P(x, y)dx - ò{BC}P(x, y)dx - ò{DA}P(x, y)dx ;

òò{D}(дP/дy)dy = - ò{L}P(x,y)dx ; òò{D}[(дQ/дx)-(дP/дy)]dxdy=’Pdx+Qdy ;

D: Рисунок:

’Pdx+Qdy = òò[(дQ/дx)-(дP/дy)]dxdy - S{i=1, n}’{g_i}[(дQ/дx)-(дP/дy)]dxdy

Вычисление площади с помощью формулы Грина:

P= - y, Q=x ; ’{L}(-y)dx+xdy=òò{D}2dxdy = 2S ; S=(1/2)’ - ydx+xdy

69. Определение и вычисление поверхностного интеграла 1-го рода. (К3-36)

Пусть в R³ задана поверхность S, в каждой точке которой определена f(x, y, z) ¾ непрерывная функция. Разбиваем S кусочно-гладкими линиями на N частей.

DS_i ¾ площать i-той части i=1..n; Выберем M_i(x, y, z) ; Sf(x_i, y_i, z_i){i=1, n}DS_i ;

D ¾ diam S_i ;

Если существует и не зависит от способа разбиения

limS{i=1, n}f(x_i, y_i, z_i)DS_i = òòf(x, y, z)dS {S} ¾ то это пов интеграл первого рода.

Вычисление:

1) S: x=x(u, v), y=y(u, v), z=z(u, v) , (u, v)ÎW

dS=|n|dudv=sqrt(A²+B²+C²)dudv=

=sqrt[|D(y, z)/D(u,v)|²+|D(z, x)/D(u,v)|²+|D(y, x)/D(u,v)|²]dudv;

f(x(u, v), y(u, v), z(u, v));

òòf(x, y, z) {S} = òò{W}f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))×sqrt(A²+B²+C²)dudv;

n=[t_u, t_v]

2) Поверхность задана явно: z=g(x, y); (x, y)ÎD; f(x, y, g(x, y))

n=(-g’_x ; -g’_y ; 1); òòf(x, y, z)dS {S} = òò{D}f(x, y, g(x, y))×sqrt[1+(g’_x)²+(g’_y)²]dxdy;

3) Поверхность задана неявно: F(x, y, z)=0; F’_z¹0, z=f(x, y); f’_x= - F’_x/F=_z ;

f’_y=-F’_y/F’_z ; n=(-F’_x/F’_z; - F’_y/F’_z; 1);

òòf(x, y, z)dS {S}=òò{D}f(x, y, z)×(1/|F’_z|)×sqrt[(F’_x)²+(F’_y)²+(F’_z)²]dxdy;

70. Свойства поверхностного интеграла 1-го рода. Некоторые приложения поверхностного интеграла 1-го рода. (К3-39)

Свойства:

1. òò[af(x, y, z)+b(x, y, z)]dS {S}=aòò{S}f(x, y, z)dS + bòò{S}f(x, y, z)dS;

2. S=U{i=1, j}S_i ; òò{S}f(x, y, z)dS=S{i=1, n}òò{S_i}f(x, y, z)dS

3. òòdS{S}=S ¾ площадь поверхности

4. |òò{S}f(x, y, z)dS|£òò{S}|f(x, y, z)|dS;

5. Если S ¾ гладкая и непрерывная, то $PÎS: òò{S}f(x, y, z)dS=f(P)×S

Некоторые приложения ПИ-1:

1) Дана S с m(x, y, z)dS ¾ плотностью

m=òòm(x, y, z)dS {S}; X_c=M_c/m; Y_c=M_y/m; Z_c=M_z/m;

M_x=òòxm(x, y, z)dS {S}; M_y=òòym(x, y, z)dS {S}; M_z=òòzm(x, y, z)dS {S};

I_x=òò(y²+z²)m(x, y, z)dS {S}; I_y=òò(x²+z²)m(x, y, z)dS {S}; I_z=òò(x²+y²)m(x, y, z)dS {S};

71. Ориентация поверхности. Нормаль поверхности. (К3-41)

Ориентированные поверхности: задаётся вектор нормали и одно его направление берётся как “+”, а другое ¾ как “¾”.

Вектор нормали:

S: z=g(x, y); n=(-g’_x; -g’_y; 1);

n⁰=n/|n|=[-g’_x/sqrt[(g’_x)²+(g’_y)²+1]; -g’_y/sqrt[(g’_x)²+(g’_y)²+1]; 1/sqrt[(g’_x)²+(g’_y)²+1];]

cosa=-g’_x/sqrt(1+g’_x+g’_y); cosb=-g’_y/sqrt(1+g’_x+g’_y); cosg=1/sqrt(1+g’_x+g’_y);

Если S задана неявно: S: F(x, y, z)=0; F’_z¹0;

n=(1/F’_z)(F’_x, F’_y, F’_z)=gradF/F’_z ; n⁰=gradF/|gradF| ;

cosa=F’_x/sqrt[(F’_x)²+(F’_y)²+(F’_z)²]; cosb=F’_y/sqrt[(F’_x)²+(F’_y)²+(F’_z)²];

cosg=F’_z/sqrt[(F’_x)²+(F’_y)²+(F’_z)²];

Если S задана параметрически: S: x=x(u, v); y=y(u, v); z=z(u, v);

n=(A, B, C)=(|D(y, z)/D(u, v)|; |D(z, x)/D(u, v)|; |D(y, x)/D(u, v)|);

n=[t_u; t_v];

cosa=A/sqrt(A²+B²+C²); cosb=B/sqrt(A²+B²+C²); cosg=C/sqrt(A²+B²+C²);

Если n⁰ с Oz образует острый угол, то это внешняя сторона S.