72. Определение и вычисление поверхностного интеграла 2-го рода. (к3-43)

a=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)); S_i ; i=1..n; DS_i ¾ площадь S_i ; M_i(x_i, y_i, z_i); n_i⁰ ;

S{i=1, n}(a(M_i), n_i⁰)DS_i ; D ¾ max{diamS_i}; Если существует и не зависит от способа развбиения и выбра точки

lim{Dà0}S{i=1, n}(a(M_i), n_i⁰)DS_i=òò{S}(a, n⁰)dS ¾ то это ¾ поверхностный интеграл второго рода.

Вычисление:

n/|n|=n⁰ ; dS=|n|dxdy ; òò{S}(a, n⁰)dS=òò{D}(a, n)dxdy

Если S задана параметрически: x=x(u, v), y=y(u, v), z=z(u, v);

n=(|D(z, y)/D(u, v)|; |D(x, z)/D(u, v)|; |D(x, y)/D(u, v)|);

òò(a, n⁰)dS{S}dS=òò(a, n){W}dudv=òò[P(|D(z, y)/D(u, v)|) + Q(|D(z, x)/D(u, v)|)

+ R(|D(y, x)/D(u, v)|)]=òò{S}Pdydz + Qdxdz + Rdxdy =

= òò{S}(Pcosa+Qcosb+Rcosg)dS=òò(a, n)dxdy {D} ¾ это свзяь ПИ-2 и ПИ-1;

73. Свойства поверхностного интеграла 2-го рода. (К3-46)

1. a=a₁+a₂; òò{S}(a₁+a₂, n⁰)dS = òò{S}(a₁, n⁰)dS+òò{S}(a₂, n⁰)dS;

2. òò(aa, n⁰)dS{S}=aòò(a, n⁰)dS

3. òò{S⁺}(a, n⁰)dS= - òò{S^¾}(a, n⁰)dS

4. |òò(a, n⁰)dS|£òò|(a, n⁰)dS ;

74. Формула Остроградского. (К3-49)

Теорема: пусть есть V в R³ ¾ ограниченная поверхностью S.

a(P, Q, R) : P,Q, R ¾ ф-ции, непрерывные вместе со своими первыми производными

òò{S}Pdydz+Qdzdx+Rdxdz = òò{V}[(дP/дx) + (дQ/дy) + (дR/дz)]dxdydz ;

diva=(дP/дx) + (дQ/дy) + (дR/дz) ¾ расходимость векторного поля

Д-во: пусть в R³ V задана следующим образом:

Рисунок:

òòò(дR/дz)dxdydz=òò{D}dxdyò{g₁(x,y), g₂(x, y)}dz=

=òò{D}[R(x, y, g₂(x, y)) - R(x, y, g₁(x, y))]dxdy=òò{D}R(x, y, g₂(x, y))dxdy -

- òò{D}R(x, y, g₁(x, y))dxdy = òò{S₂}R(x, y, z)dxdy + òò{S₁}R(x, y, z)dxdy ;

n₃=(a_x3, a_y3, 0); 0a_x3+0a_y3+R0=0

òò{D}R(x, y, z)dxdy = òò{S₃}R(x, y, z)dxdy ;

òòò{V}(дR/дz)dxdydz=òò{S}R(x, y, z)dxdy ;

òòò{V}(дQ/дy)dxdydz=òò{S}Q(x, y, z)dzdx ;

òòò{V}(дP/дx)dxdydz=òò{S}P(x, y, z)dydz ;

ЧИТД

P=x, Q=y, R=z ; V=(1/3)òò{S}xdydz+ydzdx+zdxdy ;

75. Формула Стокса. (к3-57)

Формула стокса связывает криволинейный интеграл по замкнутому контуру в пространстве с поверхностью, краем которой служит этот замкнутый контур.

R³ ; L ¾ замкнутый, ориентированный, гладкий, служит краем S;

Пусть есть a(P, Q, R), P, Q, R ¾ непрерывны со своими первыми производными.

D, l : l ¾ проекция L ;

’{L}Pdx+Qdy+Rdz = òò{S}[(дz/дy)-(дQ/дz)]dydz + [(дP/дz)-(дR/дx)]dzdx +

+ [(дQ/дx)-(дP/дy)]dxdy ; Если: x=x(t), y=y(t), z=f(x, y), tÎ[a, b];

L: x=x(t), y=y(t), z=z(t)=f(x(t), y(t));

’{L}Pdx+Qdy+Rdz=ò{a; b}(Px’_t + Qy’_t + Rz’_t)dt=

=ò{a; b}[Px’_t + Qy’_t + R[(дf/дx)x’_t+(дf/дy)y’_t]]dt=

=ò{a; b}[(P+R(дf/дx))x’_t + (Q+R(дf/дy))y’_t]dt=

=ò{l}[(P+R(дf/дx))dx+(Q+R(дf/дy))dy]=

=òò{D}[(д/дx)(Q+R(дf/дy)) - (д/дy)(P+R(дf/дx))]dxdy=òò{D}[-(дf/дx)((дR/дy)-(дQ/дz))-

-(дf/дy)((дP/дz)-(дR/дx))+((дQ/дx)-(дP/дy)]dxdy=

=òò{S}((дR/дy) - (дQ/дz))dydz + ((дP/дz) - (дR/дx))dzdx + ((дQ/дx) - (дP/дy))dxdy ;

Т.к. : (д/дx)(Q+R(дf/дy))=(дQ/дx) + (дQ/дz)(дf/дx)+(д²f/дxдy)R+

+(дf/дy)((дR/дx)+(дR/дz)(дf/дx)) ;

(д/дy)(P+R(дf/дx))=(дP/дy) + (дP/дz)(дf/дy)+(д²f/дyдx)R+

+(дf/дx)((дR/дy)+(дR/дz)(дf/дy)) ;

(д/дx)(Q+R(дf/дy)) - (д/дy)(P+R(дf/дx))=((дQ/дx)-(дP/дy))-(дf/дx)((дR/дy)-(дQ/дz))-

-(дf/дy)((дP/дz)-(дR/дx));

a=(Q, Q, R);

rota=[(дR/дy)-(дQ/дz))i-(дP/дz)-(дR/дx))j-(дQ/дx)-(дP/дy))k ;

| i j k |

rota = |д/дx д/дy д/дz |

| P Q R |

((дR/дy)-(дQ/дz))dydz + ((дP/дz)-(дR/дx))dzdx + ((дQ/дy)-(дP/дy))dxdy =

|dydz dzdx dxdy|

=|д/дx д/дy д/дz|;

| P Q R |

|dydz dzdx dxdy| |cosa cosb cosg|

òò{S}=|д/дx д/дy д/дz|=òò{S}|д/дx д/дy д/дz|

| P Q R | | P Q R |

ПИ-2 ПИ-1