45. Производные высших порядков. (к1-48)

u=f(x, y, z) ¾ определена в D ; дu/дx ; дu/дy ; дu/дz ¾ существуют

(д/дx)(дu/дx) ; (д/дy)(дu/дy) ; (д/дz)(дu/дz) ;

д²u/дxдx = д²u/дx² = u’’_xx = u’’_sqr(x) ; д²u/дyдx = u’’_yx ; д²u/дzдx = u’’_zx ; д²u/дxдy = u’’_xy ; д²u/дyдy = д²u/дy² = u’’_yy = u’’_sqr(y) ; д²u/дyдz = u’’_yz ; д²u/дxдz = u’’_xz ; д²u/дyдz = u’’_yz ;

д²u/дzдz = д²u/дz² = u’’_zz = u’’_sqr(z) ; и т.д.

Вторая производная по разным переменным ¾ смешаная.

(д/дx)(д²u/дx²)=д³u/дx³=u’’’_xxx ;

(д/дy)(д²u/дx²)= д³u/дyдx²; (д/дz)(д²u/дx²)= д³u/дzдx² = u’’’_z*sqr(x)

Теорема: если u=f(x, y) имеет f’’_xy, f’’_yx ¾ непрерывные частные производные, то

f’’_xy = f’’_yx ;

Д-во: M(x, y) ¾ точка; A=[f(x+Dx; y+Dy)- f(x+Dx, y)]- [f(x, y+Dy)-f(x,y)];

j(x)=f(x, y+Dy) - f(x, y);

A=f(x+Dx)-j(x)=j’(x+Q₁Dx)Dx ={0<Q₁<1}=[f’_x(x+Q₁Dx, y+Dy) - f’_x(x+Q₁Dx, y)]Dx=

=f’’_xy(x+Q₁Dx, y+Q₂Dy)DxDy {0<Q₂<1} ;

A=[f(x+Dx, y+Dy)-f(x, y+Dy)]-[f(x+Dx, y)- f(x, y)]; Y(y)=f(x+Dx, y)-f(x, y);

A=Y(y+Dy)-Y(y)= Y’(y+Q₃Dy)Dy = {0<Q₃<1} = [f’_y(x+Dx, y+Q₃Dy) - f’_y(x, y+Q₃Dy)]Dy=

=f’’_yx(x+Q₄Dx, y+Q₃Dy)DyDx {0<Q₄<1} ; =>

f’’_xy(x+Q₁Dx, y+Q₂Dy) = f’’_yx(x+Q₄Dx, y+Q₃Dy)

Если Dx à 0 и Dy à 0 , то f’’_xy=f’’_yx ¾ в силу непрерывности

46. Дифференцалы высших порядков. (к1-52)

u=f(x, y); du=(дf/дx)dx+(дf/дy)dy ;

d(du)=d[(дf/дx)dx+(дf/дy)dy]=d(дf/дx)dx+(дf/дx)d(dx)+ d(дf/дy)dy+(дf/дy)d(dy)=

=(д²f/дx²)dxdx+(д²f/дydx)dydx+(д²f/дxdy)dxdy+(д²f/дy²)dydy=(д²f/дx²)dx²+

+2(д²f/дxdy)dxdy+(д²f/дy²)dy² ;

d³u=(д³u/дx³)dx³ + 3(д³u/dxdy²)dxdy² + 3(д³u/dydx²)dydx² + (д³u/дy³)dy³ ;

d⁴u=(д⁴u/дx⁴)dx⁴ +4(д⁴u/dxdy³)dxdy³ + 6(д⁴u/dx²dy²)dx²dy² + 4(д⁴u/dydx³)dydx³ +

+(д⁴u/дy⁴)dy⁴ ;

dⁿu=(дⁿu/дxⁿ)dxⁿ + C_n¹(дⁿu/дxдy^n-1)dxdy^n-1 +

+C_n²(дⁿu/дx²дy^n-2)dx²dy^n-2 + ... + C_n^n-1(дⁿu/дx^n-1дy)dx^n-1dy+(дⁿu/дyⁿ)dyⁿ ;

dⁿu[(д/дx)дx+(д/дy)дy)ⁿu;

d²u=Q(dx, dy)=(dx dy)H(dx | dy | dz)

H=u’’_xx u’’_xy

u’’_yx u’’_yy

n=f(x, y, z);

d²u=Q(dx, dy, dz)=(dx dy dz)H(dx | dy | dz)

H=u’’_xx u’’_xy u’’_xz

u’’_yx u’’_yy u’’_yz

u’’_zx u’’_zy u’’_zz

Второй дифференциал не инвариантен.

u=f(x, y), x=x(t, S), y=y(t, S); du=(дf/дx)dx+(дf/дy)dy ;

dx=(дx/дt)dt+(дx/дS)dS ; dy=(дy/дt)dt+(дy/дS)dS

d(du)=d[(дf/дx)dx + (дf/дy)dy]=(д²f/дx²)dx² + 2(д²f/дxдy)dxdy + (д²f/дy²)dy² +

+ (дf/дx)d²x + (дf/дy)d²y ;

47. Формула Тейлора для функций многих переменных. (к1-54)

u=f(x, y); M₀(x₀, y₀)ÎD; M(x₀+Dx, y₀+Dy)ÎD ;

Du=f(x₀+Dx, y₀+Dy) - f(x₀, y₀)=F(1)-F(0);

Соединим точки отрезком прямой: x=x₀+tDx; y=y₀+tDy ;

f(x₀+tDx, y₀+tDy)=F(t);

F(t)=F(0)+F’(0)t+(1/2)F’’(0)t² + (1/3!)F’’’(0)t+...+(1/(n-1)!)F^n-1(0)t^n-1 + (1/n!)Fⁿ(Qt)tⁿ;

F(1)=F(0)+F’(0)+F’’(0)/2!+...+Fⁿ(Q)/n! , 0<Q<1;

F(0)=f(x₀, y₀); F’(0)=(дf(x₀, y₀)/дx)dx+(дf/дy)(x₀, y₀)dy ;

F’’(0)=(д²f(x₀, y₀)/дx²)dx² + 2[д²f/дxдy]dxdy+(д²f/дy)dydy=d²f(M₀);

F⁽ⁿ⁾(Q)=[(д/дx)dx + (д/дy)dy]’’f(x₀+QDx, y₀+QDy)=d⁽ⁿ⁾f(M);

f(x₀+Dx, y₀+Dy)= f(x₀, y₀)+[(дf(x₀, y₀)/дx)dx+(дf(x₀, y₀)/дy)dy]+...+

+(1/n!)[(д/дx)dx+(д/дy)dy)×f(x₀+QDx, y₀+QDy)

du=df(M₀)+(д²f(M₀))/2!+...+dⁿf(M)/n!; M(x₀+QDx, y₀+QDy) ¾ дифференциальная запись дифференциала

48. Необходимое и достаточное условие экстреммума функций многих

переменных. (К1-61)

f(x); x(x₁, x₂, ... , x_n)ÎDÌRⁿ ;

x⁰=(x₁⁰, x₂⁰, ... , x_n⁰) ¾ точка локального максимума или локального минимума если для "xÎU_d(x⁰) => f(x)£f(x⁰) { f(x)³f(x⁰) } , f(x)<f(x⁰) { f(x)>f(x⁰) }

Необходимые условия экстремума:

Если f(x) имеет max/min в т x⁰, то (дf(x⁰)/дx_i)=0, i=1...n ;

Точки, в которых все частные производные равны нулю ¾ стационарные.

Достаточное условие экстремума:

Пусть есть давжды непрерывно дифференцируемая в окрестности x⁰ функция и пусть

df(x⁰)=0, d²f(x⁰)>0 (<0), то в x⁰ min (max).

Д-во: разложим по форм. Тейлора: f(x)-f(x⁰)=df(x⁰)+(1/2)d²f(x⁰+QDx), Dx=x-x⁰, 0<Q<1

f(x)-f(x⁰)=(1/2)d²f(x⁰+QDx);

d²f(x, y)=Q(x, y)=(dx, dy)H(dx | dy) ;

H=u’’_xx u’’_xy

u’’_yx u’’_yy

f’’_xx(x₀, y₀)>0;

|u’’_xx u’’_xy |>0 => max

|u’’_yx u’’_yy |

Если частная производная обращается в ноль, а знак 2-го дифференциала не определён => экстремума в этой точке нет (f’’_xx×f’’_yy-f’’_xy<0)

Необходимые условия экстремума функции трёх переменных, заданной неявно:

F(x, y, z)=0

z=f(x, y); z’_x= - F’_x/F’_z ; z’_y= - F’_y/F’_z ; => F’_x/F’_z=0 , F’_y/F’_z=0 => F’_z¹0 =>

Система: F’_x(x, y, z)=0, F’_y(x, y, z)=0, F(x, y, z)=0 ;