76. Основные понятия теории дифферинциальных уравнений. (к2-30)

F: Rⁿ⁺² à R ; E Ì Rⁿ⁺² ;

Соотношение, связывающее независимую переменную, функцию и её производные (n) ¾ дифференциальное уравнение.

F(x, y, y’, y’’, ... , y⁽ⁿ⁾)=0 (*);

y⁽ⁿ⁾=f(x, y, y’, ... ,y^(n-1)) (**) ¾ разрешено относительно старшей производной.

f: Rⁿ⁺¹ à R; D Ì Rⁿ⁺¹ ;

Если в (*) y зависит только от x à (*) ¾ обыкновенное.

Если y ¾ функция нескольких переменных à уравнение частных производных.

Порядок дифференциального уравнения ¾ порядок старшей производной, входящей в данное уравнение.

Уравнение (**) ¾ уравнение в нормальной форме.

Решение (общий интеграл) дифференциального уравнения (*) ¾ непрерывная функция y=y(x). xÎ(a; b), которая удовлетворяет следующим условиям:

1. yÎC⁽ⁿ⁾ (a; b) ¾ n раз дифференцируема

2. (x, y(x), y’(x), ... , y⁽ⁿ⁾(x))ÎE ¾ область определения

3. F(x, y(x), y’(x), ... , y⁽ⁿ⁾(x))º0, "xÎ(a; b);

77. Дифферинциальные уравнения 1-го порядка. Метод изоклин. (К2-31)

F: R³ à R; F(x, y, y’)=0 (*’) ; EÎR³ ; y’=f(x, y) (**’) ; f: R² à R ; DÌR² ;

y=j(x) ¾ решение (*’), если удовлетворяет условиям:

1. yÌC¹, "xÎ(a, b);

2. (x, j(x), j’(x))ÎE, "xÎ(a, b);

3. F(x, j(x), j’(x))º0, "xÎ(a, b);

y=j(x) ¾ непрерывно дифференцируема

(x, j(x))ÎD, "xÎ(a, b); j’(x)=f(x, j(x), "xÎ(a, b);

Гафик решения дифференциального уравнения ¾ интегральная кривая.

Допольнительные (начальные) условия ¾ условия Коши: x₀, y₀=y(x₀)

Выделение кривой, проходящей через такую точку ¾ задача Коши.

Теорема: существование и единственность решения дифференциального уравнения.

Пусть есть дифференциальное уравнение, где f(x, y) непрерывна вместе с дf/дy в x₀

=> существует (x-d, x+d); y=y(x) удовлетворяет y₀(x₀);

Пример: y’=sqrt(y); (dy/sqrt(y))dx; 2sqrt(y)=x+c; y=(x+c)²/4; y=x²/4

Если через точку проходит больше одной интегральной кривой ¾ это особая точка.

Общее и частное решение дифура: Общее: решение дифура ¾ функция y=y(x, c) если

1. Она является решением (*’) при любом c

2. Удовлетворяет уравнению j’(x, c)=f(x, j(x, c)

Частное решение ¾ решение, полученное из общего для определённого значения C;

Ф(x, y, c)=0 ¾ общее решение в виде интеграла ¾ общий интеграл. Ф(x₀, y₀, z₀)º0

Метод изоклин:

y’=f(x, y); y’=k;

Ставим точку и чёрточку с коэффициентом наклона k. Эти точки с чёрточками ¾ поле направлений: y’=k=f(x, y);

Изоклина ¾ кривая, в каждой точке которой поле направлений одинаково.

f(x, y)=k ¾ уравнение изоклины.

78. Дифферинциальные уравнения с разделяющимися переменными. (К2-38)

y’=f(x, y); P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0; dy×1-f(x, y)dx = 0;

M₁(x)N₁(y)dx+M₂(x)N₂(y)dy=0;

M₁(x), M₂(x) x Î (a, b); N₁(y), N₂(y) y Î (c, d);

à уравнение с разделяющимися переменными.

[M₁(x)/M₂(x)]dx+[N₂(x)/N₁(x)]dy=0 ; ò[M₁(x)/M₂(x)]dx+[N₂(x)/N₁(x)]dy=c;

Пример: (1+y²)dx+(1+x²)dy=0; [dx/(1+x²)] + [dy/(1+y²)]=0; arctgx+arcty=c;

Уравнения, приводящиеся к дифурам с разделяющимися переменными:

y’=f(ax+by+c); b¹0; u(x)=ax+by+c; y=(u-ax-c)/b; dy=(1/b)(du-a); y’=(1/b)u’-(a/b);

(u’/b)-(a/b)=f(u); (u’/b)=f(u)+(a/b); du/(f(u)+(a/b))=bdx; òdu/(f(x)+(a/b))=bòdx+c;

79. Однородные дифферинциальные уравнения и приводящиеся к ним. (К2-41)

f(x,y) ¾ однородное порядка k, если t^xf(x, y)=f(tx, ty);

Пример: x²+3xy+y² ¾ однородное 2-го порядка.

y’=f(x, y); u=y/x; => уравнение с разделяющимися переменными.

P(x, y,)dx +Q(x, y)dy=0;

(1/x)^aP(x, y)dx + (1/x)^aQ(x, y)dy=0; P((1/x)x; y/x)dx + Q((1/x)x; y/x)dy0;

P(1; y/x)dx+Q(1; y/x)dy=0; y/x=u; y=ux; y’=u’x+u ; dy=du×x+u×dx;

P(1, u)dx+Q(1, u)(du×x+u×dx)=0; x×Q(1, u)du+[P(1, u)+u×Q(1, u)]dx=0;

[Q(1, u)du]/[P(1, u)+uQ(1, u)]=-dx/x;

ò[Q(1, u)du]/[P(1, u)+uQ(1, u)]=-lnx+lnc;

ò[Q(1, u)du]/[P(1, u)+uQ(1, u)]=ln(c/x);

Сводящиеся к однородным: y’=f[(a₁x+b₁y+c₁)/(a₂x+b₂y+c₂)];

1) |a₁ b₁|¹0 à замена переменных

|a₂ b₂|

x=x+a; y=h+b; y’=dy/dx=dh/dx; dh/dx=f[(a₁x+b₁h+aa₁+bb₁+c₁)/(a₂x+b₂h+aa₂+bb₂+c₂)];

Система: aa₁+bb₁+c₁=0 , aa₂+bb₂+c₂=0 ;

|-c₁ b₁| |a₁ -c₁|

|-c₂ b₂| |a₂ -c₂|

a= --------; b=--------;

|a₁ b₁| |a₁ b₁|

|a₂ b₂| |a₂ b₂|

dh/dx=f[(a₁x+b₁h)/(a₂x+b₂h)]; u=h/x => пришли к дифуру с разделяющимися переменными

2) |a₁ b₁|=0

|a₂ b₂|

а) (a₁/a₂)=(b₁/b₂)¹c₁/c₂ ; (a₁/a₂)=(b₁/b₂)=k; a₁x+b₂y=u; y’=(1/b₁)u’-(a₁/b₁);

(1/b₁)u’-(a₁/b₁)=f[(u+c₁)/((u/k)+c₂)] ¾ уравнение с разделяющимися перменными

б) a₁/a₂=b₁/b₂=c₁/c₂=k; a₁x+b₁y+c₁ = (1/k)(a₂x+b₂y+c₂); a₁x+b₁y+c₁=0; y’=(1/b₁)u’-(a₁/b₁);

(1/c₁)u’-(a₁/b₁)=k => см. теорию выше.

80. Линейные дифферинциальные уравнения 1-го порядка (3 случая). (К2-46)

y’+p(x)y=q(x) (*) , p(x), q(x) ¾ непрерывные на [a, b];

1. Подстановка Бернулли:

y=uv; u=u(x), v=v(x); y’=u’v+uv’ ; u’v+uv’+P(x)uv=q(x); u’v+p(x)uv=0; u’+p(x)u=0;

du/u=-p(x)dx; lnu=-òp(x)dx; u=e^¾òp(x)dx; uv’=q(x); v’e^òp(x)dxq(x);

v=c+òq(x)e^òp(x)dxdx; y=e^¾p(x)dx[c+òq(x)e^òp(x)dxdx]

2. Метод вариации производных постоянных (метод Лагранжа).

y’+p(x)y=0 ¾ уравнение с разделяющимися переменными.

dy/dx=-p(x)dx; lny= - òp(x)dx+c₁;

y=c×e^¾òp(x)dx ; c=e^c1 ; c=c(x); y=c(x)e^¾òp(x)dx - c(x)p(x)e^¾òp(x)dx + c(x)p(x)e^¾òp(x)dx = q(x);

c’(x)=e^òp(x)dxq(x); c(x)=A+òq(x)e^òp(x)dxdx ;

y=e^¾òp(x)dx[A+òq(x)e^òp(x)dxdx]

3. Метод интегрирующего множителя:

m=m(x); my’+p(x)my=q(x)m; (m×y)’=q(x)m; (m×y)’=m×y’+p(x)my; m’y+my’=my’+p(x)my;

m’=p(x)m; m=e^òp(x)dx ; y’e^òp(x)dx + p(x)e^òp(x)dxy=q(x)e^òp(x)dx ;

(ye^òp(x)dx)’=q(x)e^òp(x)dx ; ye^òp(x)dx = c+òq(x)e^òp(x)dxdx ; y=e^¾òp(x)dx[c+òq(x)e^òp(x)dxdx]

ПРИМЕР: y’cosx-ysinx=2x; y(x=0)=0; y’-(sinx/cosx)y=2x/cosx;

y=e^{ò(sinx/cosx)dx}[c-ò(2x/cosx)e^{¾ò(sinx/cosx)dx}dx]; y=(1/cosx)[c+x²]; 0=1×c à c=0 => y=x²/cosx ;

81. Уравнение Бернулли. (К2-49)

y’+p(x)y=q(x)y^a ; a¹1¹0; y^¾ay’+p(x)y^1-a=q(x); z=y^1-a ; z’=(1-a)y^-ay’ ;

(1-a)y^-ay’+(1-a)p(x)y^1-a=(1-a)q(x);

z’+(1-a)p(x)z=(1-a)q(x) => см. выше => z(x) => z=y^1-a и т.д.

ПРИМЕР: y’+2xy=y²e^sqr(x) ; y^-2y’-2xy^-1=e^sqr(x) ; y^-1=z; -y ^{- 2}y’=z’ ; -z’+2xy=-e^sqr(x) ;

z=e^sqr(x)[c-òe^sqr(x)e^-sqr(x)dx]=e^sqr(x)[c-x]; (1/y)=e^sqr(x)[c-x] ; y=1/e^sqr(x)[c-x]

82. Уравнения в полных дифферинциалах. (К2-51)

du=(дu/дx)dx+(дu/дy)dy ¾ полный интеграл

P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0 ; du=0 ; P(x, y)=(дu/дx); Q(x, y)=(дu/дy);

дP(x, y)/дy=д²u/дxдy ; дQ(x, y)/дx=д²u/дyдx ;

(дP/дy)º(дQ/дx) ¾ условия того, что это полный дифференциал

(дu/дx)=P(x, y); u(x, y)=òp(x)dx+j(y); (дu/дy)=Q(x, y)=(д/дy)(r(x, y)dx)+j’(y);

ПРИМЕР: x(2x²+y²)+y(x²+y²)y’=0 ; x(2x²+y²)dx+ y(x²+y²)dy=0;

P=x(2x²+y²); Q=y(x²+y²)

дP/дy=2xy; дQ/дx=2xy ; u(x, y)=òx(2x²+y²)dx+j(y)=(1/2)x⁴+(1/2)x²y²+j(y);

(дu/дy)=yx²+j¹(y)=yx²+2y³; j(y)=y⁴/2+c ; u(x, y)=(1/2)x⁴+(1/2)x²y²+(1/2)y⁴=c ;

83. Интегрирующий множитель. (К2-53)

P(x, y)dx + Q(x, y)dy=0; (дP/дy)¹(дQ/дx); m(x, y); mPdx+mQdy=0; (д/дy)(mP)=(д/дx)(mQ);

(дm/дy)P+r(дP/дy)=(дm/дx)Q+m(дQ/дx) ; m[(дP/дy)-(дQ/дx)]=(дm/дx)Q-(дm/дy)P;

1. m=m(x); mPdx+mQdy=0; (д/дy)(mP)=(д/дx)(mQ); m(дP/дy)=(dm/dx)Q+m(dQ/dx);

dm/dx=(-1/Q)[(дQ/дx)-(дP/дy)]m ; (дm/m)=(-1/Q)[(дQ/дx)-(дP/дy)]dx;

m=e^{¾ò(1/Q)[(дQ/дx)-(дP/дy)]} => m=m(x);

2. m=m(y); (дm/дy)P+(дP/дy)m=m(дQ/дx); dm/m=(1/P)[(дQ/дx)-(дP/дy)]dy

дm/дy=(1/P)[(дQ/дx)-(дP/дy)]m ¾ уравнение с разделяющимися переменными

(1/p)[(дQ/дx)-(дP/дy)]=Y(y) => m=m(y)

84. Уравнения, допускающие понижение степени. (К2-73)

y’’+a₁(x)y’+a₂(x)y=0, y₁ ¾ решение.

y=y₁òz(x)dx; y’=y₁’òz(x)dx+y₁z(x); y’’=y₁’’òz(x)dx+2y₁’z(x)+y₁z’(x);

(y₁’’+a₁y₁’+a₂y₁)òz(x)dx+y₁z’(x)+zy₁’z(x)+a₁(x)y₁z(x)=0;

y₁z’(x)+(2y₁’+a₁(x)y₁)z(x)=0;

z’(x)+[(2y’/y₁)+a₁(x)]z(x)=0;

85. Линейные дифферинциальные уравнения высших порядков. (К2-59)

F(x, y, y’, y’’, ... , y⁽ⁿ⁾)=0 (*)

y⁽ⁿ⁾=j(x, c₁, c₂, ... , c_n) ¾ обращает (*) в тождество.

Ф(x, c₁, c₂, ... , c_n)=0 (**)

y=j(x, c₁, c₂, ... , c_n) (a; b)

y₀=j(x₀), y’₀=j’(x₀); y^(n-1)=j^(n-1)(x₀) (***)

дf/дy; д²f/дy² ; ... ; д^(n-1)f/дy^n-1 ¾ непрерывны

=> существует единственное решение **, удовлетворяющее ***

1. y⁽ⁿ⁾=f(x); y^(n-1)=òf(x)dx+c₁; y^(n-2)=ò(òf(x)dx)dx+c₁x+c₂ ; .................................

y=(1/(n-1)!)ò{x₀; x}(x-t)^n-1f(t)dx+P_n-1(x);

P_n-1(x)=c₁x^n-1+c₂x^n-2+...+c_n ;

Пример: y’’’’=x; y’’’=x²/2+c₁ ; y’’=x³/6+c₁x+c₂ ; y’=x⁴/24+c₁’x²+c₂x+c₃;

y=x⁵/120+c₁’’x³+c’₂x²+c₃x+c₄ ;

86. Линейные дифферинциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. (К2-74)

y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+a₂y^(n-2+...+a_ny=0 (*)

a₁, a₂, ... , a_n = const ; L[y]=0=y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+...+a_ny;

y=e^lx; y’’=le^lx; y’’’=l²e^lx; ... ; y⁽ⁿ⁾=l⁽ⁿ⁾e^lx;

L[e^lx]=lⁿe^lx+a₁le^lx+...+a_ne^lx=0

L(y)=lⁿ+a_nl^n-1+...+a_n ¾ характеристический многочлен.

L(y)=lⁿ+a₁l^n-1+...+a_n ¾ характеристическое уравнение (*)

Чтобы y=e^lx было решением (*) необходимо и достаточно, чтобы l был корнем характеристического уравнения. Пример: 4y’’+3y’+2y=0, 4l²+3l+2=0 ¾ хар ур.

l_i, i=1..n; y_i=e^lix ¾ решения ЛОДУ.

Среди l_i:

1. Все l_i ¾ действительные, различные числа:

y₁=e^l1x; y₂=e^l2x; ... ; y_n=e^lnx ; ¾ решение (*) (фундаментальная система)

Y=c₁y₁+c₂y₂+...+c_ny_n=c₁e^l1x+c₂e^l2x+...+c_ne^lnx ;

2. Среди l_i есть комплексные числа:

l_1,2=a±ib; y₁=e^(a±ib)x=e^axe^ibx=e^ax(cosbx+isinbx);

y₂=e^(a¾ib)x=e^ax(cosbx - isinbx); y₁^~=e^axcosbx и y₂^~=e^axsinbx

y₂=e^(a¾ib)x=e^ax(cosbx - isinbx); y₁^~=e^axcosbx и y₂^~=e^axsinbx ¾ решения

Y₁=e^ax(c₁cosbx+c₂sinbx);

3. Среди l_i есть кратные корни:

l ¾ корень кратности n; e^lx , xe^lx , x²e^lx , ... , x^n-1e^lx ¾ фундаментальная система решений (*)

Y=e^lx(c₁ + xc₂+x²c₃+...+x^n-1c_n)

87. Линейные дифферинциальные уравнения с постоянными коэффициентами , со специальной правой частью. (К2-76)

y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+a₂y^(n-2)+...+a_ny=f(x) ; L[y]=f(x) ;

Для четырё видов f(x) частное решение находится в виде элементарной функции методом неопределённых коэффициентов. Для всех других ¾ по методу Лагранжа (вариации производных постоянной).

№	Вид f(x)	Корни хар уравн	Вид y0 (частн реш)	Примеч
1	Pn(x)=xn+b1x(n-1)+ +...+bn	0 ¾ не является корнем 0 ¾ является корнем кратности S	Q~n(x) xSQ~n(x)	Q~n(x) полином n-ной степени с неопр коэфф.
2	eaxPn(x)	a не является корнем a является корнем	Q~n(x)eax xSQ~n(x)eax	---“---
3	Pn(x)cosbx+ +Qm(x)sinbx	±bi не является корнем ±bi является корнем	P~k(x)cosbx+ + Q~k(x)sinbx ; xS(P~k(x)cosbx+ Q~k(x)sinbx)	P~k(x), Q~k(x) полином с неопр коэф k=max(n,m)
4	eax[Pn(x)cosbx+ +Qm(x)sinbx]	±bi не является корнем ±bi является корнем	eax[P~k(x)cosbx +Q~k(x)sinbx] eSeax[P~k(x)× ×cosbx + +Q~k(x)sinbx]	---“---