5.3 Линейные четырехполюсники

5.3.1. Определения и уравнения.

Часть электрической цепи, рассматриваемая по отношению к любым двум парам ее зажимов, называется четырёхполюсником. (Длинная линия, электрический фильтр, трансформатор, усилитель и всякое другое устройство с двумя парами зажимов, включенное между источником и приемником электрической энергии). Предметом исследования являются токи и напряжения на этих зажимах, а не токи и напряжения внутри четырехполюсника.

Четырехполюсники бывают линейными и нелинейными – по признаку линейности входящих в четырехполюсник элементов.

Четырехполюсник бывает активным и пассивным. Активный четырехполюсник содержит внутри источники электроэнергии и если они независимые, то в случае линейности четырехполюсника обязательным условием активности четырехполюсника является наличие на одной или обоих парах его разомкнутых зажимов напряжения от внутреннего ЭДС, т.е. внутренние источники ЭДС будут не скомпенсированы. Если внутренние источники скомпенсированы – то четырехполюсник пассивный.

Два четырехполюсника эквивалентны, если их можно заменить в схеме без изменения в остальной части схемы.

Симметричным четырехполюсником является такой, у которого перемена местами входа и выхода не изменяет режима работы всей цепи. В противном случае четырехполюсник будет несимметричным.

Обратимый четырехполюсник, если выполняется теорема обратимости, то есть отношение напряжения на входе к току на выходе, или , что то же, передаточное сопротивление входного и выходного контуров не зависит от того, какая из 2х пар зажимов является входной и какая выходной. В противном случае четырехполюсник необратимый.

Пассивные линейные четырехполюсники – обратимые, не симметричные же активные четырехполюсники – необратимые. Симметричные четырехполюсники всегда обратимые.

Сложная схема не рассматривается как совокупность четырехполюсников. Теория четырехполюсников позволяет вычислять параметры сложного четырёхполюсника по параметрам составного четырехполюсника и оценить режим работы передачи в целом. Эта теория позволяет также решать задачи синтеза цепей.

ПРИМЕРЫ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

Рассмотрим уравнение четырехполюсника.

Обозначения принимаем по этому рисунку

I₁ и I₂ – прямая передача

I’₁ и I’₂ -обратная передача

Используется так же третий вариант с токами I₁ и I’₂

Напряжения и токи на зажимах четырехполюсника обуславливаются присоединением активных цепей к обеим парам зажимов либо к одной. Электрические цепи, присоединенные к обеим парам зажимов либо к одной. Электрические цепи, присоединенные к I-I’ и 2-2’, могут быть на основании теоремы компенсации в любом режиме замещены источниками ЭДС E₁=U₁ и E₂=U₂, которые мы рассмотрим, как контурные ЭДС, включенные в два независимых контура четырехполюсника, а токи I₁=-I’₁ и I₂=-I’₂ как контурные токи. Соотношения могут быть в виде следующих 6 форм уравнений.

1. Форма Y: (1) I₁ и I’₂ выражены в зависимости от U₁; U₂

I₁=y₁₁U₁+y₁₂U₂

I’₂=y₂₁U1+y₂₂U₂

2. Форма Z: (2) U₁ и U₂ в зависимости от I₁, I’₂

U₁=Z₁₁I₁+Z₁₂I’₂

U₂=Z₂₁I₁+Z₂₂I’₂

3. Форма A: (3) U₁ и I₁ в зависимости от U₂, I’₂

U₁=A₁₁U₂+A₁₂I₂

I₁=A₂₁U₂+A₂₂I₂

4. Форма B: (4) U₂ и I’₂ в зависимости от U₁, I’₁

U₁=B₁₁U₁+B₁₂I’₁

I’₂=B₂₁U₁+B₂₂I’₁

5. Форма H: (5) U₁ и I’₂ в зависимости от U₂, I₁

U₁=H₁₁I₁+H₁₂U₂

I’₂=H₂₁I₁+H₂₂U₂

6. Форма G: (6) I₁ и U₂ в зависимости от U₁, I’₂

I₁=G₁₁ U₁+G₁₂ I’₂

U₂=G₂₁ U₁+G₂₂ I’₂

Более подробно рассмотрим формы Y и A.

Константы и определители каждой системы уравнений могут быть выражены через константы и усилители любой другой систем. Есть таблицы (см. Атабеков стр. 350).

Контурные токи I₁ и I’₂ связаны с контурными ЭДС E₁ и E₂ линейными уравнениями (1). Коэффициенты Y представляют собой входные и передаточные проводимости контуров 1 и 2. В общей сложности это комплексные величины, зависящие от частоты. Они определяются следующим образом:

- входная проводимость со стороны зажимов 1 при закороченных 2.

- входная проводимость со стороны зажимов 2 при закороченных 1.

- входная проводимость при закороченных 2.

- входная проводимость закороченных 1.

В случае обратимого четырехполюсника Y₁₂=Y₂₁, то есть только 3 коэффициента в уравнении (1) являются независимыми. Если четырехполюсник симметричный, то дополнительно Y₁₁=Y₂₂. Остаются независимыми Y₁₁ и Y₁₂.

Коэффициенты Z тоже в общем случае комплексные числа, зависящие от частоты.

- входное сопротивление со стороны зажимов 1 при разомкнутом 2.

- передаточные сопротивления при разомкнутом 2.

- аналогично.

В случае обратимого четырехполюсника Z₁₂=Z₂₁, а если четырехполюсник симметричен, то дополнительно Z₁₁=Z₂₂.

Рассмотрим форму A. При этом положительное направление токов выбираем I₁ и I₂, передача энергии идет от входа к выходу. Выведем форму А из Y. Для этого в (1) I’₂ заменим I₂. Получим:

I₁=Y₁₁U₁+Y₁₂U₂

-I₂=Y₂₁U₁+Y₂₂U₂ (7)

Из 2-го уравнения найдем . Подставив в 1-е уравнение (7), получим

, где

Положив , получим систему уравнений (3).

Константы А в общем случае комплексные, зависят от частоты

A₁₁; A₂₂ – безразмерные, A₁₂ [Ом]; A₂₁ [См]

Они могут быть определены:

- отношение напряжений при разомкнутых зажимах 2.

- отношение токов при закороченных зажимах 2.

- Величина, обратная передаточной проводимости при закороченных зажимах 2.

- величина, обратная передаточному сопротивлению при разомкнутых зажимах 2.

Определитель из констант А:

В случае обратимого четырехполюсника Y₁₂=Y₂₁ , и поэтому |A|=1, то есть только 3 коэффициента будут независимыми. Если четырехполюсник симметричный, то A₁₁=A₂₂, то есть число независимых коэффициентов будет 2.

В случае перемены передачи электроэнергии (направления) с 2 к 1 в уравнениях четырехполюсника связывают U₂; I’₂; U₁; I’₁ (4) – по форме B. Если заменить в (3) I₁ на –I’₁ и I₂ на –I’₂ и решить уравнения относительно U₂ и I’₂, то получим уравнения в форме В, выраженные через коэффициенты А. Для обратимого четырехполюсника:

U₂=A₂₂U₁+A₁₂I’₁

I’₂=A₂₁U₁+A₁₁I’₁ (8)

Сопоставляя (8) и (3) заключаем, что с переменой передачи энергии коэффициенты A₁₁ и A₂₂ меняются местами.

5.3.2. Эквивалентные схемы четырехполюсников.

Так как четырехполюсник характеризуется только тремя неизвестными величинами, то простейшая схема замещения четырехполюсника должна содержать 3 элемента. На рисунке эквивалентные схемы Т-образная и П-образная

Выразим U₁ и I₁ через U₂ и I₂ для Т-образной эквивалентной схемы и сопоставим эти выражения с уравнениями четырехполюсника, записанными в форме А

, следовательно

Отсюда связь между параметрами четырехполюсника и его эквивалентной Т-образной схемой.

Аналогично для П-образной эквивалентной схемы

, и следовательно

Отсюда связь между параметрами четырехполюсника и его П-образной эквивалентной схемы.

Для симметричного четырехполюсника A₁₁=A₂₂ и соответственно в эквивалентных схемах

;

5.3.3. Экспериментальное определение параметров четырехполюсника

Для этого достаточно произвести измерения при холостом ходе, когда Z_пр=∞ и I₂=0, Z_пр – сопротивление приемника и при коротком замыкании, когда Z_пр=0 и U₂=0. При этих опытах подводимая мощность идет только на покрытие потерь четырехполюсника, тогда, как при номинальном режиме она значительно больше. Добавим индексы «0» - для холостого хода, «к» - для короткого замыкания. Пусть во вторичной цепи при холостом ходе U₂ – номинальное, при коротком замыкании I₂ – тоже номинальное. Тогда из (3) следует

Налагая эти режимы друг на друга, получим

То есть для определения U₁ и I₁ номинального режима достаточно провести опыты холостого хода и короткого замыкания. При номинальных U₂ и I₂ для линейных четырехполюсников соблюдение номинальных не обязательно, т.к. можно произвести пропорциональный расчет. Из (1) имеем

;;

Для симметричных четырехполюсников измерение сопротивления Z_1к и Y₁₀ со стороны первичных зажимов достаточно, т.к. всегда имеем связи

;

В случае несимметричности четырехполюсников, когда необходимо провести дополнительный опыт, произведя измерения со стороны 2 либо при холостом ходе, т.е. при разомкнутом 1, либо при коротком замыкании 1. Так как перестановка местами 1 и 2 приведут к перестановке параметров,и, то получим

;

Из уравнения в форме Z или Y видно, что имеют место соотношения

5.3.4. Характеристические параметры четырехполюсников

1 2 1 2

Z_1вх Z_2вх

Z₂ Z₁

1^’ 2^’ 1^’ 2^’

Рис. 5.16 Рис. 5.17

Положим, чтоZ₁ и Z₂ подобраны, таким образом, что Z_1вх=Z₁ и Z_2вх=Z₂. Иначе говоря, будем считать, что существуют два сопротивления Z₁=Z_1с и Z₂=Z_2с, которые удовлетворяют следующим условиям: входное сопротивление Z_1вх четырёхполюсника, нагруженного сопротивлением Z_2с равно Z_1c; входное сопротивление Z_2вх четырехполюсника, нагруженного Z_1с, равно Z_2с.

Такие два сопротивления называются характеристическими сопротивлениями несимметричного четырехполюсника. Условие, когда четырехполюсник нагружен соответствующим характеристическим сопротивлением, называется условием согласованной нагрузки или согласованного включения.

Положив иполучим

;

Откуда

;(1)

Введем для рассматриваемого обратимого четырехполюсника новый параметр g, удовлетворяющий условиям:

; (2)

Эти условия всегда осуществимы, так как g может быть комплексным. Кроме того эти условия взаимно дополняют друг друга, так как имеющаяся связь между которыми соответствует тригонометрической формуле

Параметр g в общем случае комплексный g=a+jb называется мерой передачи четырехполюсника. Это третий характеристический параметр обратимого четырехполюсника, «а» называется собственным затуханием, а «b» - коэффициентом фазы. Выразим коэффициенты через характеристические параметры. Из (1)

; (4)

Умножение (2) на (3) и (4)

(5)

(6)

Деление (2) на (3) и (4)

(7)

(8)

В результате подстановки (5)-(8) в уравнение четырехполюсника в форме А получим уравнение несимметричного обратимого четырехполюсника в гиперболической форме, соответствующие токам I₁ и I₂

(9)

(10)

При согласованно подобранной нагрузке (Z₂=Z_2c) имеет место равенство

или

Если воспользоваться известным математическим соотношением , то уравнения (9) и (10) упростятся

;

То есть модули напряжений и соответствующих токов на входе и выходе четырехполюсника связаны уравнениями

;(1a)

Множитель равен отношению амплитуд или действительных значений напряжений на выходе и выходе четырехполюсника при согласованной нагрузке. Множитель- для токов.

Если аргументы (узлы) сопротивлений Z_1c и Z_2c обозначить и, то фазовый сдвиг напряжения на входе относительно напряжения на выходе определится величиной, а для токов.

В общем случае коэффициент фазы b может быть определен как полусумма фазовых сдвигов между напряжениями и соответственно между токами на входе и выходе четырехполюсника, нагруженного согласованно. При и согласованной нагрузке фазовые сдвиги напряжений и токов одинаковы и равныb.

Характеристические параметры Z_1c и Z_2c могут быть выражены через параметры холостого хода и короткого замыкания, а именно на основании

;(11)

Подстановка (2) в формулу приводит к выражению, связывающемуg с A

(12)

По этой формуле g вычисляется однозначно, если подставлять под радикалы константы A в показательной форме с последующим сложением узлов и делением их суммы на 2. По формулам (11) для тангенса принципиально невозможно получить однозначное решение, т.к. входное сопротивление под радикалом не изменяется от перекрещивания зажимов четырехполюсника. Поэтому (12) предпочтительнее (11) для th(g)

Вычисление g по формуле для th(g) ведется в следующем порядке:

откуда

; в результате логарифмирования

Параметр g может быть получен также как ½ натурального логарифма отношения произведений комплексного напряжения и тока на входе и выходе четырехполюсника при согласованной нагрузке. Действительно на основании (1а)

; откуда

В случае симметричного четырехполюсника ()

Следовательно входное сопротивление симметричного четырехполюсника, нагруженного характеристическим сопротивлением Z_c, равно Z_c. Это означает, что всякому симметричному четырехполюснику соответствует некоторое характеристическое сопротивление Z_c обладающее свойствами: если нагрузить данный четырехполюсник сопротивлением Z_c, то отношение напряжения к току на входе и выходе четырехполюсника будет однозначным

На основании (9) и (10) уравнения симметричного четырехполюсника при произвольной нагрузке записываются в гиперболической форме так:

;

Если нагрузка подобрана согласовано, то есть , то

В этом случае амплитуды изменения напряжения и тока определяются множителем e^a, а фазовый сдвиг между напряжениями и токами – углом b. Собственное затухание a будет

(13)

Величины g, a, b – безразмерные, угол b – в радиана, a – из (13) в неперах (неп).

Затуханию 1 неп соответствует уменьшение амплитуды и действительного значения напряжения или тока в e раза (так как при имеем)

В радиотехнике а вычисляется в белах (Б) или децибелах (дБ), которые определяются следующим образом.

Если полгая мощность на выходе четырёхполюсника в 10 раз меньше полной мощности на входе, то затухание составит 1Б; если мощность уменьшается в 100 раз, то затухание оценивается в 2б и так далее. Поэтому:

В случае согласованного нагруженного симметричного четырёхполюсника:

;

1Б = 10дБ

Затухание в 1дб соответствует уменьшению мощности в 1,26 раза или уменьшению величины напряжения и тока в 1,12 раза.

Для перехода от неперов к децибелам и обратно можно пользоваться:

1дБ = 0,115неп