Еквівалентність процентних ставок

При підготовці фінансових контрактів кожен учасник угоди прагне укласти контракт на найбільш вигідних для себе умовах. Умови контракту можуть бути різними, і треба мати можливість порівнювати контракти.

З цією метою вводяться поняття: еквівалентність процентних ставок і ефективна процентна ставка.

6 видів процентних ставок, що застосовуються у фінансових розрахунках:

– прості та складні відсотки, що нараховуються один раз у рік (позначимо їх і_s та і_c);

– річна ставка j_т, за якою т раз на рік нараховується j_т / т складних відсотків;

– проста і складна дисконтні ставки (d_s і d_c і дисконтна ставка f_m, що нараховується m раз на рік за ставкою f_m / т .

Формули для обчислення нарощеної суми S для всіх шести видів процентних ставок:

1) S = P(1+ t і_s),

2) S = Р(1+ і_c) ^t,

3) S = P(1+ )^tm

4) S = ,

5) S = ,

6) S = .

В цих формулах t – число років (воно може буди нецілим).

Дві відсоткові ставки називають еквівалентними, якщо нарахування їх до однакових сум протягом однакових відрізків часу дає однакові нарощувані суми.

Прирівнюючи праві частини двох з наведених вище шести формул, маємо можливість виразити одну процентну ставку через іншу. Ми отримуємо умову еквівалентності відповідних процентних ставок за t років.

Завдання для виконання практичної роботи №3

1. Підприємець поклав 8000 грн. у банк, що виплачує 6% річних (складних). Яка сума буде на рахунку цього клієнта: а) через 1 рік, б) через 8 місяців, в) через 4 роки, г) через 6 років 6 місяців?

2. Вирішити вправу 1, якщо банк нараховує відсотки по ставці j₃ =6%.

3. Власник майстерні може вкласти гроші в банк, що виплачує відсотки по ставці j₆ = 10%. Яку суму він повинен вкласти, щоб одержати 20000 грн. через 3 роки 3 місяці?

4. Фермер хоче вкласти 30000 грн., щоб через 5 років одержати 40000 грн. Під яку процентну ставку j₁₂ він повинен вкласти свої гроші?

5. Через скільки років 1 грн., вкладена у банк, що нараховує відсотки по ставці j₁ = 10% перетвориться в 1000000 грн.?

6. Клієнт вклав у банк 1000грн. Яка сума буде на рахунку цього клієнта через 1 рік, якщо банк нараховує відсотки по ставці: а) j₁ = 5%, б) j₆ =5%, в) j₁₂ = 5%, г) j₃₆₀ = 5%?

7. Банк видає позичку на 10 років або під 7% річних (складних), або під прості відсотки. Яку ставку простих відсотків повинен установити банк, щоб отриманий ним дохід не змінився?

8. Яку ставку складних відсотків повинен установити банк із попередньої вправи, якщо він видає позичку під 7% простих річних?

9. Визначити ставку складних відсотків і_с, еквівалентну ставці: а) j₂ =10%, б) j₆ = 10%, в) j₁₂= 10%.

10. Банк виплачує на вкладені в нього гроші 8% річних (складних). Яку ставку j_m повинен установити банк, щоб доходи клієнтів не змінилися, якщо: а) m =2, б) m = 6, в) m = 12?

11. Банк виплачує по внесках 6% річних (складних). Яка реальна прибутковість внесків у цей банк, якщо нарахування відсотків проводиться: а) по півріччях, б) поквартально, в) щомісяця?

Розв’язання задач за темою „Визначення сучасної цінності грошей”

Сучасна цінність суми грошей S, що буде отримана через t років, дорівнює сьогодні тій сумі Р, що перетвориться через t років у суму S, якщо на неї будуть нараховуватися складні відсотки по річний ставці і. Тобто сучасна цінність Р = РV суми S обчислюється за формулою (3.3)

РV = S(1+i)^-t (4.1)

Якщо нарахування відбувається по ставці j_т, то сучасна цінність розраховується за формулою (3.4):

РV = S (1+ )^-tm.

У вітчизняній літературі сучасну цінність грошей називають також приведеною вартістю, тобто вартістю, приведеною до сьогоднішнього моменту, або дисконтованою вартістю. Процентна ставка і (або j_т) називається ставкою дисконтування.

Приклад 4.1. Кредитор дає гроші в борг, одержуючи вексель, за яким через два роки буде виплачено 5 000 грн. Яку суму варто дати під цей вексель сьогодні, якщо за узяті в борг гроші виплачуються відсотки по ставці j₄=6%?

Розв’язання. За формулою (3.4) знайдемо сучасну цінність 5000грн. Підставивши в неї S = 5000, т = 4, j_т = 0.06, t = 2, одержимо:

Р = 5000 = 5000 x0,8877 = 4438,55 грн.

Таким чином, в умовах задачі сучасна цінність 5000 грн. дорівнює 4438.55 грн. Цю суму і варто дати під вексель.

Якщо t років тому сума Р була отримана під і %, то нарощене значення цієї суми або її майбутня цінність S = FV обчислюється за формулою (3.1):

FV = Р(1+i)^t.

Позначення FV походить від англійського терміна Future Value, що ми і перевели як майбутня цінність.

Якщо нарахування проводяться за ставкою j_т, то майбутня цінність обчислюється за формулою (3.2):

FV =Р(1+ )^tm.

Приклад 4.2. В банк, що виплачує j₂ = 8% , вкладені на 3 роки 10 000 грн. Яка майбутня цінність цієї суми грошей?

Розв’язання. Майбутню цінність цієї суми (нарощувану суму) знаходимо за формулою (3.2) при Р = 10000, j₂ = 8%, т = 2, t = 3:

FV = 10000(1+ )^{2 3} = 10000 1,26532 = 12653,2.

Тобто в умові цієї задачі майбутня цінність суми в 10000 грн. дорівнює 12653,2 грн.

Якщо термін платежу збільшується на t періодів, нова сума платежу S₁ виходить зі старої S₀ за формулою

S₁ = S₀(1+і)^t. (4.2)

Якщо термін платежу скорочується на t періодів, нова сума платежу S₁ виходить зі старої S₀ за формулою

S₁ = S₀(1+і)^-t (4.3)