Розв’язання задач за темою „Складні відсотки”

Говорять, що на суму Р нараховується ί складних відсотків протягом п процентних періодів, якщо наприкінці кожного періоду до суми, що малася на початок цього періоду, додається ί % від цієї суми.

Наприкінці першого періоду до вихідної суми Р додається сума Рί. Нарощена сума S₁ буде дорівнювати:

S₁= Р + Рί =Р(1+ί) .

Наприкінці другого періоду до наявної суми

Р(1+ί) додається сума Р(1+ ί)ί.

Нарощена сума S₂ складе:

S₂ =Р(1+ ί)+Р(1+ ί)ί = Р(1+ί)².

Аналогічно, до кінця третього періоду будемо мати нарощену суму

S₃ = Р(1+ί)³

і до кінця п-го періоду нарощена сума S_п буде дорівнювати:

S_п = Р(1+ί)^п.

Множник (1 + ί)^п називається множником нарощення. При виведенні останньої формули ми вважали число періодів п цілим.

Для довільного (може бути, і нецілого) числа періодів t нарощена сума при нарахуванні складних відсотків обчислюється за формулою:

S_t = Р(1+ί)^t.

У практиці фінансових розрахунків ставку складних відсотків, як правило, вказують на період, що дорівнює року, але нарахування складних відсотків може проводитися кожне півріччя, квартал, місяць або навіть день. При цьому за кожен такий період, рівний 1/т частини року, нараховуються складні відсотки по ставці ί/т складних відсотків. У цьому випадку формула (3.1) прийме вигляд:

S = ^tm,

де t — тривалість проміжку часу, протягом якого нараховуються складні відсотки (t вимірюється в роках).

Щоб показати, що при річній ставці складних відсотків і обчислення складних відсотків проводиться т раз на рік за ставкою ί/т річну ставку позначають j_т. Тоді остання формула приймає вигляд:

S = ^tm. (3.2)

Розглянемо типові задачі, що виникають при вкладенні в банк грошей під складні відсотки.

Приклад 3.1. Ощадний банк нараховує щорічно 8% складних. Клієнт поклав у цей банк 20 000 грн. Яка сума буде на його рахунку а) через 5 років, б) через 6 років і три місяці?

Розв’язання.

а) Застосовуючи формулу (3.1), знаходимо нарощену суму при Р=20000; ί = 0,08; t = 5:

S = 20000(1 +0,08)⁵ = 20000x1,469328 =29 386,56 грн.

Помітимо, що якби банк виплачував 8% простих, то через 5 років на рахунку була б менша сума:

S = 20000(1 + 0,08x5) = 20000x1,4 = 28000 грн.

б) За формулою (3.1) знаходимо нарощену суму S при Р = 20000; ί=0,08; t = 6,25:

S = 20 000(1 +0,08)^6,25 = 20000x1,617702 = 32 354,04 грн.

Приклад 3.2. Розглянемо приклад 3.1(а), якщо j₄ =8% і якщо j₁₂= 8%.

Розв’язання. Застосовуємо формулу (3.2) при j₄= 8%:

S = ^{5 4} = 20000 1,4859474 = 29718,5 грн.

Застосовуємо формулу (3.2) при j₁₂= 8%:

S = ^{5 12} = 20000 1,4898457 = 29796,91 грн.

Приклад 3.3. Пан Петренко може вкласти гроші в банк, який виплачує j_{12 =}7%. Яку суму йому варто вкласти, щоб одержати 3000 грн. через 4 роки 6 місяців?

Розв’язання. Застосуємо формулу (3.2) при j₁₂= 0,07; т= 12; t = 4,5:

3000 = ^{12 4,5},

або 3000 = Р(1+0,0058)⁵⁴.

З цього рівняння знаходимо значення Р:

Р = 3000/(1 +0.0058)⁵⁴ = 3 000x0,7317655 =2195,30 грн.

Розв’язання такої задачі називається дисконтуванням суми S. Величина внеску визначається за формулою

Р = S / ^t = S ^-t, (3.3)

якщо нарахування і% складних проводиться один раз у рік протягом t років, і за формулою

Р = S / ^tm. (3.4)

якщо нарахування складних відсотків проводиться за річною ставкою j_т протягом t років. Множник (1 + і)^{- t} називається дисконтним множником.

Приклад 3.4. Пан Яценко хоче вкласти 5000 грн., щоб через 2 роки отримати 7000 грн. Під яку процентну ставку j₁ він повинний вкласти свої гроші ?

Розв’язання. При ставці j₁ відсотки нараховуються 1 раз на рік. За формулою (3.1) при S = 7000, Р = 5000, t = 2:

7000 = 5000х(1- t)².

Визначимо з останньої рівності значення і:

(1 + і)² = 1,4; звідки 1 + і = 1,183; і = 0,183 = 18,3% .

Приклад 3.5. Визначимо річну ставку відсотків, що щорічно нараховуються, якщо вкладена сума грошей подвоюється через 8 років.

Розв’язання. Застосуємо формулу (3.1) при S = 2Р, t = 8:

2Р = Р(1+і)⁸.

Визначимо значення і з цієї рівності:

1 + і = = 1,09051, звідки і = 0,09051 = 9,051% .