Розв’язання задач за темою „Прості відсотки”

Якщо мається кілька періодів часу, у кожний з яких вихідна сума Р збільшується на r %, то говорять, що на суму S нараховуються прості відсотки. Нарощена сума S, отримана в результаті нарахування п раз по r% на суму S, виражається формулою:

або .

Формула, що виражає нарощену суму при нарахуванні простих відсотків, отримана за умови, що число п періодів нарахування відсотків — ціле. По визначенню ми введемо таку ж формулу для будь-якого позитивного (не обов'язково цілого) числа періодів, яке ми тепер будемо позначати буквою t:

. (2.1)

Відмітимо, що при оформленні фінансових контрактів звичайно обумовлюється найменша частина періоду нарахування відсотків: наприклад, кожний повний день (1/360 частина періоду нарахування, рівного року) або кожен повний тиждень (1/52 частина періоду нарахування, рівного року). У цих випадках t у формулі (2.1) приймає лише значення відповідно k/360 або k/52 (k — ціле).

Три типові задачі, що виникають при вкладенні в банк грошей під прості відсотки.

Приклад 2.2. Громадянин вкладає в банк 1200 грн. під 17%. Яка сума буде на рахунку вкладника через півроку, через три роки, через п'ять років і три місяці, якщо період нарахування відсотків (простих) дорівнює року?

Розв’язання. За формулою (2.1) маємо:

S₁= 1200∙(1+0,50∙0,17) = 1302 грн.,

S₂ = 1 200∙(1 + 3,00∙0,17) =1812 грн.,

S₃ = 1 200∙(1 + 5,25∙0,17) = 2 271 грн.

Приклад 2.3 Банк виплачує 6% простих у рік. Пан Яковенко хоче одержати через 2 роки і 6 місяців на подарунок синові до 16-річчя:

а)10 000 грн.;

б) 15 000 грн.;

в) 12 500 грн.

Яку суму він повинний покласти в банк у даний момент?

Розв’язання. Нам відома нарощена сума S = 10000 грн., кількість періодів нарахування простих відсотків t — 2,5 року. Ставка простих відсотків, що нараховуються за кожен період, r становить 6% = 0,06. За формулою (2.1) визначаємо вкладену суму

. (2.2)

Підставляючи вихідні дані задачі в цю формулу, одержуємо відповідь для варіанту а:

Р = 10000/(1 +0,06x2,5) = 10000/1,15 = 8695,65 грн.

Аналогічно розраховується для варіантів б і в.

Для вирішення подібних задач використовується Сервис, Подбор параметра. Математична модель задачі наведена на рис.11. Для початку прийнято, що в банк покладено 1 грн.

Рис. 11.

Поля діалогового вікна Подбор параметра заповнюються, як показано на рис. 13.

Рис. 13.

Після натиснення на кнопку ОК на екрані відображається потрібне рішення – 8695,65 грн. Для випадків б) і в) встановлюється Значение відповідно 15000 і 12500.

Отримане рішення: 13043,48 грн. і 10869,57 грн. відповідно.

Приклад 2.4. В банк було покладено 1500 грн. Через 1 рік 3 місяці на рахунку було 1 631,25 грн. Скільки простих відсотків у рік виплачує банк?

Розв’язання. Відома вкладена сума Р = 1500 грн. і отримана через t = 1,25 року нарощена сума S = 1 631,25 грн. Треба визначити ставку простих відсотків r. За формулою (2.1) визначаємо значення r:

. (2.3)

Підставляємо вихідні дані задачі в цю формулу:

.

Приклад 2.6. Покупець придбав холодильник, ціна якого 2000грн., у кредит, сплативши відразу 500 грн. і зобов'язавшись сплатити залишок протягом 6 місяців, роблячи щомісячні рівні платежі. Яку суму він повинний виплачувати щомісяця, якщо продавець вимагає за кредит 6% простих за рік?

Розв’язання. Борг покупця продавцеві 1500 грн. за товар, проданий у кредит. За формулою (2.1) визначимо нарощену суму S, якщо кредит наданий під r = 6% на t — 0,5 року:

S= Р(1+rt) = 1500х(1 + 0,06x0,5) = 1545 грн.

Отже, щомісяця покупець повинний виплачувати продавцеві

= 257,5 грн.

За допомогою MS Excel задача вирішується з використанням фінансової функції ПРПЛТ (ставка; период; кпер; пс; бс; тип), що повертає суму платежів відсотків по інвестиції за даний період часу на базі постійності періодичних платежів та постійності відсоткової ставки.

Аргументи функції ПРПЛТ:

ставка – відсоткова ставка за період, в даному випадку період – місяць, а річна ставка 6%;

період – період, для якого потрібно відзначити суму оплати, від 1 до кпер, у даному випадку один місяць;

кпер – загальне число періодів виплат інвестиції, в цій задачі 6 місяців;

пс – загальна сума майбутніх виплат, 2000 грн. – 500 грн. = 1500 грн.;

бс – баланс, який повинен бути на рахунку після останньої виплати, за замовчуванням 0;

тип – логічне значення, що позначає в кінці періоду виконується сплата (0), чи на початку (1).

ПРПЛТ (6%/12; 1; 6; 1500; 0; 0) = -7,5 грн.

В робочому листі MS Excel результат обчислення функції ПРПЛТ виводиться червоним кольором і зі знаком мінус, оскільки цю суму фірма сплачує. Отже 7,5 грн. щомісячно покупець буде сплачувати відсотки, а загальна місячна сума платежів становитиме: 7,5 грн. + 1500 грн./ 6 = 257,5 грн.