6.9 Нелинейная парная регрессия и криволинейная корреляция

В тех случаях, когда по правилам, изложенным в предыдущих параграфах, гипотеза линейной корреляционной связи двух переменных может быть отброшена или когда при графическом изображении явно просматривается нелинейность изучаемой зависимости Y = F(X), прибегают к процедурам статистической оценки коэффициентов нелинейного уравнения регрессии Y на X по экспериментальным данным, а корреляцию называют криволинейной.

Теория криволинейной корреляции решает те же за­дачи, что и теория линейной корреляции, а именно – установление формы и тесноты корреляционной связи.

Для оценки тесноты криво­линейной корреляции служит выборочное корреляционное отношение _ух, которое далее будем обозначать через η и для простоты речи называть корре­ляционным отношением.

Связь тем сильнее, чем больше .

Корреляционное отношение удовлетворяет двойному неравенству:

0 ≤ η ≤ 1. (6.37)

Если η = 0, то переменная Y с переменной X корреля­ционной зависимостью не связана.

Если η = 1, то переменная Y связана с переменной X функ­циональной зависимостью.

Выборочное корреляционное отношение не меньше абсолютной величины выборочного коэффициента корре­ляции:

. (6.38)

Если выборочное корреляционное отношение равно абсолютной величине выборочного коэффициента корреля­ции, то имеет место линейная корреляционная за­висимость.

При криволинейной зависимости Y от Х для оценки той доли вариации зависимой переменной Y, которая определяется влиянием независимой переменной Х, следует употреблять индекс детерминации , величина которого может быть выражена так:

(6.39)

(6.40)

Корреляционное отношение η служит мерой тесноты корреляционной связи любой формы, в том числе и линейной. В этом состоит преимущество корреляционного отношения перед коэффициентом корреляции, который оценивает тесноту лишь линейной корреляционной зави­симости. Вместе с тем, корреляционное отношение обладает недостатком: оно не позволяет судить, насколько близко расположены точки, найденные по данным наблюдений, к кривой определенного вида, например, к параболе, гиперболе и т.д. Это объясняется тем, что при определении корреляционного отношения форма связи во внимание не принимается.

Для выбора формы нелинейной регрессии Y на X также может быть использован метод наименьших квадратов, но для этого прибегают к линеаризующим преобразованиям, так как только линейные по параметрам функции могут быть количественно описаны методом наименьших квадратов.

В таблице 6.1 приведены часто встречающиеся парные зависимости и линеаризующие преобразования переменных. Выполнив соответствующие преобразования и , по методу наименьших квадратов определяют значение коэффициентов и уравнения парной регрессии:

. (6.41)

Затем выполняют обратные преобразования, т.е. по и определяют b₀ и b_i в соответствии с указаниями в таблице 6.1.

Рекомендуется проверить различные известные формы парной взаимосвязи, чтобы выбрать наилучшую, с точки зрения точности предсказания значений функции отклика Y.

Критерием оптимальности выбора формы функциональной парной нелинейной зависимости переменной Y = F(X) может служить наибольшая величина из статистически значимых коэффициентов парной корреляции либо наименьшая остаточная дисперсия

Таблица 6.1

Функции и линеаризующие преобразования

№ п/п	Функция	Линеаризующие преобразования
		Преобразованные переменные		Выражения для величин b0 и b1 по значениям
1. y x b0 b1 2. 1/y x b0 b1 3. x/y x b0 b1 4. ℓgy x ℓgb0 ℓgb1 5. ℓny x ℓnb0 b1 6. 1/y e-x b0 b1 7. ℓgy ℓgx ℓgb0 b1 8. y ℓgx b0 b1 9. 1/y x b1/b0 1/b0 10. 1/y 1/x b1/b0 1/b0 11. ℓny 1/x ℓnb0 b1 12. y xn b0 b1