6.3 Оценка тесноты линейной корреляционной связи переменных х и y

Критерием тесноты линейной корреляционной связи переменных Х и Y служит коэффициент корреляции r_yx.

Коэффициент парной корреляции r_yx может быть определён по одной из следующих формул:

; (6.17)

. (6.18)

В специальной литературе приводятся также другие формулы для определения величины коэффициентов парной корреляции r_yx по результатам экспериментального определения значений переменных Х и Y.

Ниже рассматриваются важнейшие свойства выборочного коэффициента корреляции.

• Знак выборочного коэффициента корреляции r_yx совпадает со знаком выборочного коэффициента регрессии b_yx.

• Корреляция называется положительной, если переменные Х и Y изменяются в одном направлении, и отрицательной  если переменные Х и Y изменяются в разных направлениях.

• Абсолютная величина выборочного коэффициента корреляции r_yx не больше единицы:

‌|r_yx| ≤ 1.

• Если выборочный коэффициент корреляции равен 0, то переменные Х и Y не связаны линейной корреляционной зависимостью, т.е. при r_yx = 0 условные средние y_i сохраняют постоянное значение при всех значениях х_i.

• Если выборочный коэффициент корреляции равен 0, то переменные Х и Y могут быть связаны нелинейной корреляционной или даже функциональной зависимостью.

• Если абсолютная величина выборочного коэффициента корреляции равна 1, то наблюдаемые значения переменных Х и Y связаны линейной функциональной зависимостью.

• С возрастанием абсолютной величины выборочного коэффициента корреляции линейная корреляционная зависимость переменных Х и Y становится более тесной и при |r_yx| = 1 переходит в функциональную зависимость.

Таким образом, выборочный коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной связи между количественными признаками в выборке: чем ближе |r_yx| к 1, тем связь сильнее, чем ближе |r_yx| к 0, тем связь слабее.

При ограниченном объёме выборки n необходимо проверить гипотезу о статистической значимости выборочного коэффициента корреляции r_yx. Проверку выполняют сравнением расчётного значения r_yx с табличным при выбранном уровне значимости α. Коэффициент корреляции r_yx признаётся статистически значимым, если выполняется соотношение:

_(6.19)

Значимость коэффициента парной корреляции r_yx может быть оценена также с помощью t-критерия Стьюдента: r_yx признаётся значимым, если выполняется соотношение:

_(6.20)

Если выборка имеет большой объём и хорошо представляет генеральную совокупность (репрезентативна), то заключение о тесноте линейной корреляционной связи между переменными Х и Y, полученное по данным выборки, в известной степени может быть распространено и на генеральную совокупность.

6.4 Оценка точности определения значений зависимой переменной по уравнению регрессии

Определим стандартную ошибку оценки значений по линейному уравнению регрессии:

. (6.21)

Стандартная ошибка S_yx всегда выражается в тех же единицах, что и зависимая переменная Y.

Выборочная ошибка оценки имеет тенденцию преуменьшать величину стандартной ошибки в генеральной совокупности. Рекомендуется вносить в неё поправку.

Величина стандартной ошибки оценки для генеральной совокупности σ_yx и её квадрата могут быть определены по величине стандартной выборочной ошибки оценки S_yx и её квадрата по формулам:

; (6.22)

. (6.23)