6.5 Коэффициент детерминации

Во многих случаях возникает вопрос о том, какую часть наблюдаемой вариации зависимой переменной Y можно объяснить влиянием независимой переменной Х. Для этого служит коэффициент детерминации.

Выборочный коэффициент детерминации при линейной зависимости переменных обозначается d_yx и может быть определён из соотношения:

. (6.24)

Он измеряет долю тех элементов вариации в Y, которые содержатся также в Х, т.е. долю в общей вариации переменной Y той её части, которая определена влиянием Х. Коэффициент детерминации часто выражают в %.

6.6 Проверка адекватности уравнения регрессии и ошибки предсказаний

Для проверки адекватности полученного уравнения регрессии экспериментальным данным применяют дисперсионный анализ (введён английским математиком-статистиком Р.А. Фишером).

Метод дисперсионного анализа заключается в расчленении общей суммы квадратов отклонений зависимой переменной от её средней величины на несколько компонентов.

Оценка адекватности уравнения регрессии производится с помощью критерия Фишера, который определяется как отношение дисперсии, обусловленной регрессией, т.е. дисперсии адекватности:

(6.25)

к остаточной дисперсии:

: (6.26)

, (6.27)

где (k + 1) = f₁ – число степеней свободы дисперсии адекватности;

(n – k – 1) = f₂ – число степеней свободы остаточной дисперсии;

k – число значимых коэффициентов регрессии.

В случае парной линейной регрессии f₁ = 2; f₂ = n – 2.

Расчётное значение критерия Фишера F_расч. сравнивают с табличным при выбранном уровне значимости α.

Если выполняется соотношение

, (6.28)

то регрессионная модель признаётся адекватной и может быть использована для предсказания значений зависимой переменной Y при всех значениях независимой переменной Х в пределах наблюдавшихся при эксперименте значений последней.

Определяют стандартную ошибку аппроксимации, т.е. разности , которую можно использовать для оценки ошибки предсказаний зависимой переменной Y по регрессионной линейной модели:

. (6.29)

Рассчитывают также среднюю относительную ошибку аппроксимации (в % от средней величины зависимой переменной Y) по формуле:

. (6.30)

Чем меньше величина ε, тем более точными будут предсказания значений переменной Y по уравнению регрессии.

6.7 Три показателя корреляции и регрессии, их значение и применение

Коэффициент регрессии b_yx указывает среднее число единиц, на которое увеличивается или уменьшается величина параметра Y при каждом увеличении фактора Х на единицу его измерения.

Коэффициент детерминации измеряет ту долю изменений в величинах измеряемого параметра Y, которая может быть объяснена влиянием фактора Х и оценивается в связи с этим влиянием.

Стандартная ошибка оценки S_yx указывает, насколько близко оцененные по регрессионной модели величины совпадают с наблюдаемыми при эксперименте величинами оцениваемого параметра Y.

Эти три коэффициента измеряют различные аспекты отношений взаимосвязи параметров Х и Y.

Какой из этих показателей должен привлечь наибольшее внимание зависит от того, чему придаётся на данном этапе исследования наибольшее значение: абсолютной величине изменений Y – т.е. регрессии, близости соразмерных изменений Х и Y – т.е. корреляции или точности оценки значений переменной Y, характеризуемой величиной стандартной ошибки.

Но все эти показатели имеют своё место при анализе изучаемой корреляционной зависимости Y от X и ни один не должен быть совершенно опущен или забракован.