Основные преобразования, не меняющее уравнение:

1. Добавить или вычесть из обеих частей уравнения одинаковое число или выражение

2. Умножить или поделить обе части уравнения на НЕНУЛЕВОЕ число или выражение

Пример 1: Решить уравнение

Решение: Чтобы неизвестная осталась с одной стороны, вычтем из обеих частей 7

■

Пример 2. Решить уравнение

Решение: В соответствии с определением умножения 2 умножить на (а + 3) означает сложить 2 скобки (а + 3):

Тогда исходное уравнение примет вид:

■▲

Вопрос 3. Дать определение числовым множествам . Для каждого числового множества определить отношения (содержится, содержит, не имеет общих членов) со всеми остальными числовыми множествами. ■

Определение. Числа 1, 2, 3, 4… (каждое последующее число получается из предыдущего прибавлением 1) называются натуральными числами. Все множество натуральных чисел обозначается . ■

Определение. Числа … -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4… (то есть это все натуральные числа, им противоположные, а также 0) называются целыми числами. Все множество целых чисел обозначается . ■

Определение. Числа, которые можно представить, как отношение , где а – некоторое целое число, b – некоторое натуральное число, называются рациональными. Множество всех рациональных чисел обозначается . ■

Определение. Множество всех чисел, которые можно представить как десятичную дробь (конечную или бесконечную), называется множеством действительных чисел. Обозначение этого множества: ■

Определение. Числа, которые являются действительными, но НЕ являются рациональными, называются иррациональными. Обозначение множества иррациональных чисел: ■

Определение. Запись

означает, что все элементы множества А являются элементами множества В. Читается это выражение как: «Множество А является подмножеством множества В» ■

Свойство оператора « »: Если , тогда . ■

Отношения между числовыми множествами:

Пояснение к первому выражению: все натуральные и целые числа можно представить в виде простой дроби, поделив эти числа на 1. Получится дробь с целым числителем и натуральным знаменателем. А это означает, что это рациональное число. Значит, все натуральные и целые числа являются рациональными.

Пояснение к последнему выражению: означает пустое множество, « » – это оператор пересечения. То есть означает, что множества иррациональных и рациональных чисел не имеют общих элементов.▲

Вопрос 4. Описать:

1. алгоритмы сложения двух обыкновенных дробей;

2. алгоритмы умножения обыкновенной дроби на число, умножения обыкновенной дроби на другую обыкновенную дробь;

3. алгоритмы деления обыкновенной дроби на число, деления обыкновенной дроби на другую обыкновенную дробь. ■

a. Определение. Запись отношения целого числа а к натуральному числу b в виде называется обыкновенной дробью. ■

Если у нас есть две дроби и , то для их сложения необходимо привести их к общему знаменателю. НЕЛЬЗЯ напрямую складывать дроби с разными знаменателями.

Чтобы изменить знаменатель дроби без изменения самой дроби надо домножить и числитель, и знаменатель на одно и то же число.

Например, если надо, чтобы у дроби знаменатель стал равен 15, то надо домножить числитель и знаменатель на 5: .

Чтобы сложить дроби и надо сделать, чтобы у этих дробей был один знаменатель. Для этого находим Наименьшее Общее Кратное знаменателей b и d. Пусть для этих дробей оно равно m. Пусть при этом

m = k∙b

m = l∙d

Тогда домножаем числитель и знаменатель дроби на k, а числитель и знаменатель дроби домножаем на l. Тогда получим:

■

b. Запись означает то же самое, что и (см. определение обыкновенной дроби в ответе на пункт а.). Тогда мы можем записать это как

При таком подходе становится очевидно, что если у произведения а∙с и b есть общие множители, то их можно взаимно сократить.

Теперь произведение дробей. означает

■

с. Чтобы понять операции деления для дробей снова запишем дробь по ее определению в качестве выражения «числитель разделить на знаменатель». Тогда если мы разделим дробь на число, получим следующее:

Теперь разделим дробь на дробь:

Почему здесь дробь была перевернута, когда на нее поделили.

Разберем, что такое деление на дробь. Процедура похоже на те, когда выясняется, что такое отрицательная степень, что такое дробная степень и т. п. То есть мы предполагаем, что деление на дробь возможно, и должно выполняться основное свойство, связанное с тем, что рассматривается.

Итак, не ограничивая общности, будем рассматривать натуральные числа a, b, c. Допустим, что результатом деления числа a на дробь будет число d:

Найдем это число d. Домножим обе части на дробь :

Теперь ничего незнакомого не осталось. Домножим обе части на с и поделим на b:

Получается, что:

Таким образом, получается, что деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (то есть перевернутую) дробь.

■▲

Вопрос 5. Дать определение возведения в целую степень действительного числа. ■

Нам надо определить, что такое , где , .

Сначала рассмотрим k > 0. То есть k – натуральное число.

Тогда по определению

Для дальнейшего ответа рассмотрим выражение :

Получается, что для случая мы можем записать свойство:

Распространяя это свойство на остальные m и n, получается, что в случае

а для

Поскольку , то . И обозначив это натуральное число через , получаем:

▲

Вопрос 6. Дать определение извлечению корня натуральной степени из действительного числа. Записать как число в некоторой степени.■

Нам надо определить, что такое , где , .

Определение. называется такое число, что

=

или

Причем:

1) Если n – четное число, то а не может быть отрицательным. Нет такого действительного числа, которые мы могли бы возвести в квадрат или любую другую четную степень и получить отрицательное число.

2) Если n – нечетное число, то а может быть любым действительным числом.■

Для того, чтобы представить корень в виде степени, обратимся к свойству (см. Вопрос 10) и распространим его за пределы натуральных чисел. Допустим, что извлечение корня можно представить как возведение в некоторую степень:

Тогда согласно определению корня:

Значит,

В итоге,

▲

Вопрос 7. Дать определение возведению в рациональную степень положительного действительного числа. ■

Определение. , где , , .

означает:

Обоснование того, что

см. в Вопросе 6.■▲

Вопрос 8. Дать определение степенной функции. ■

Степенной функцией называется функция вида , ■▲

Вопрос 9. Доказать, что и являются иррациональными числами. ■

Ни 2, ни 10 не являются полным квадратом ни одного натурального числа (таковыми являются 1, 4, 9, 16, 25 и т. д.). Тогда квадратный корень из них не может быть натуральным числом. Значит, если они рациональные, то они могут быть представимы в виде НЕсократимой дроби. Рассмотрим 2.

Допустим – это рациональное число, то есть , ,

Возведем в квадрат обе части этого равенства:

Поскольку – несократимая дробь, то мы получаем, что «2 = несократимая дробь». Это противоречие. Это означает, что наше допущение о том, что 2 – это рациональное число, неверно. Аналогично можно поступить и с 10, и с любым другим числом, которое не является полным квадратом. ■▲