2. Передаточная функция и разностное уравнение цифрового фильтра

Реакция цифрового фильтра на входное воздействие х(п) определяется сверткой этого воздействия с импульсной характеристикой фильтра

у(п)=х(п)*h(п). (.6)

(.7)

Из свойств -преобразования следует, что свертке последовательностей х(п) и h(n) соответствует произведение их -преобразований.

(.8)

Рассматривая Y(z) и X(z) как выходной и входной эффекты цифрового фильтра, используем (.8) для записи общего выражения его передаточной функции:

H(z) = Y(z)/X(z) (.9)

Таким образом, передаточная функция цифрового фильтра является -преобразованием его импульсной характеристики:

(.10)

Рассмотрим пример расчета цифрового фильтра на

основе аналогового прототипа в виде однозвенной Г-образной -цепи. Дискретную импульсную характеристику запишем в общем виде с учетом масштабирующего множителя а:

, (.11)

Где - постоянная времени фильтра, - интервал дискретизации.

Найдем передаточную функцию цифрового фильтра, определив -преобразование его дискретной импульсной характеристики (ДИХ):

(.12)

Выражение для представлено в ( .13) как сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем . Используя формулу суммирования, получим

, (.13)

Где

Структура записи передаточной функции цифрового фильтра соответствует передаточной функции линейной аналоговой системы с обратной связью:

, (.14)

Где - коэффициент передачи прямого тракта, - коэффициент передачи цепи обратной связи. На рис. приведены функциональные схемы соответствующей аналоговой системы с обратной связью и цифрового фильтра.

Рис

Из сопоставления (.13) и (.14) видно, что , а . Сопоставление схем позволяет установить соответствие схемы цифрового фильтра и системе с обратной связью. Блок, обозначенный как выполняет функцию задержки на такт дискретизации.

Передаточная функция цифрового фильтра, полученная как -преобразование его дискретной импульсной характеристики (ДИХ) в общем виде может быть представлено дробно-рациональным полиномом от переменной .

(.15)

Это выражение называется уравнением цифрового фильтра. Коэффициенты , называются коэффициентами цифрового фильтра и их значения полностью определяют передаточную функцию фильтра.

Последнее выражение может быть переписано в форме разностного уравнения цифрового фильтра. Из (.15), следует:

(.16)

После выполнения над (.16)обратного -преобразования можно получить:

(.17)

И. в окончательном виде:

(.18)

Коэффициенты разностного фильтра являются соответствующими коэффициентами в уравнении цифрового фильтра.