3.2.1.1 Тестирование на случайность

С целью выявления марковости случайной последовательности, траектории процесса сопоставляется бинарная последовательность

(2.1)

Если исходный процесс является последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин, то {Z_t} представляет наблюдения в схеме Бернулли с вероятностью 0,5 появления 0 или 1. где функция Если исходный процесс является последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин, то {Z_t} представляет наблюдения в схеме Бернулли с вероятностью 0,5 появления 0 или 1.

Рисунок 3.6 – Временная траектория пиковой нагрузки на скважине 13499 за период с 1.06.2011 по 30.06.2011. Область I - предполагаемый участок стационарности процесса, область II – область разладки.

Последующее тестирование случайности осуществляется проверкой с помощью критерия хи-квадрат наборов из компонент процесса {Z_t}. Анализируются частоты появления в последовательности 0 и 1, их пар и троек. Если процесс случайный, то частоты должны быть близки к теоретическим вероятностям:

0 1 – количество исходов r=2, вероятность появления каждой пары при справедливости гипотезы случайности равна 0,5.

00 01 10 11 – количество исходов r=4, вероятность появления каждой пары равна 0,25;

000 001 010 011 100 101 110 111 – количество исходов r=8, вероятность появления каждой тройки - 0.125.

Для каждого набора с r=2, 4 и 8 исходами, вычисляется статистика хи-квадрат

(3.1)

где _i, i=1,..,2^k – частота появления соответствующей комбинации набора, n – объем выборки, k –количество разрядов в тестируемой конфигурации единиц и нулей.

Нулевая гипотеза состоит в том, что рассматриваемая последовательность 0 и 1 является случайной. Если эта гипотеза справедлива, то статистика результата наблюдения х² имеет хи-квадрат распределение с степенями свободы. Нулевая гипотеза случайности отвергается , если для результата х² наблюдения X² критический уровень значимости (так называемое p - значение)

(3.2)

Представим результаты проверки случайности для пиковой и минимальной нагрузок только за первый месяц, из которых будет видно, что эти и последующие данные не представляют случайную выборку.

Расчеты показали, что относительная частота нулей равнялась 0.491, а частота единиц 0.509. Согласно критерию хи-квадрат критический уровень значимости p=0.058. Так как неравенство (2.2) не выполняется, то гипотеза равновероятности подъемов и спусков значений пиковой нагрузки подтверждается.

Частота появления пар из 0 и 1 в бинарной последовательности, вычисленной для значений пиковой нагрузки представлена в табл. 3.3. Значение критерия χ²(2)=119.0. Критический уровень значимости р<10^-3, следовательно гипотеза равновероятности появления каждой пары в бинарной последовательности отвергается.

Таблица 3.3

Частоты появления пар 0 и 1 в бинарной последовательности для пиковой нагрузки

Пара	00	01	10	11
Частота	0.175	0.316	0.316	0.192

Таким образом для показателя пиковой нагрузки наиболее вероятна смена «знака»: за каждым подъемом вероятнее всего следует падение нагрузки, и наоборот.

В табл. 3.4. представлены частоты появления троек из 0 и 1 в бинарной последовательности, вычисленной для значений пиковой нагрузки. Значение критерия χ²(3)=191.0. Критический уровень значимости р<10^-3, следовательно гипотеза равновероятности появления каждой тройки в бинарной последовательности также отвергается.

Таблица 3.4

Частоты появления сочетаний троек в бинарной последовательности для пиковой нагрузки

Тройка	000	001	010	011	100	101	110	111
Частота	0.0574	0.117	0.194	0.122	0.117	0.199	0.122	0.0702

Таким образом, в рамках вариационной статистики стандартный статистический анализ невозможен, то есть анализ следует используя понятия и методы случайных процессов.