Еталонна відповідь 2. Контрольне завдання № 31
Радіус-вектор частки змінюється з часом за законом: r = 3t2i + 2tj +1k (м). Знайти: а) швидкість та прискорення частки; б) модуль швидкості частки в момент t1 =1 c; в) приблизне значення шляху, пройденого часткою за 11-ту секунду руху.
*Примітка:
позначення r,
i,
j,
k,
a,
v,
dr
рівнозначні до позначень
відповідно,
тобто напівжирний шрифт відповідає
векторній величині.
Розв’язання. а) Швидкість частинки v знайдемо, як похідну радіус-вектора за часом.
v = dr/dt = 6ti + 2j (м/c)
Прискорення a знайдемо, як похідну швидкості за часом
a = dv/dt = 6i (м/c2)
б) Модуль швидкості в час t1 =1 c знайдемо, підставивши у вираз для швидкості значення t1 і підрахувавши корінь квадратний із суми складових вектора v
v = (62+22)½ =6,3 м/с
в) Будемо вважати, що шлях s, пройдений часткою за 11-ту секунду приблизно дорівнює модулю переміщення r за цей час. Переміщення r знайдемо як різницю значень радіус-вектора в 11-ту та 10 секунди руху.
r = r(11) – r(10) = 63i + 2j (м)
Відповідно, модуль переміщення r
r = (632+22)½ =63 м
Відповідь: а) v = 6ti + 2j (м/c), a = 6i (м/c2); б) v =6,3 м/с; в) s 63 м.
Тіло маси m починає рухатись під дією сили F = 2ti + 3t2j (Н). Знайти потужність, яку розвиває сила в момент часу t.
Розв’язання. Миттєва потужність дорівнює скалярному добутку сили, що діє на тіло, на його швидкість:
P = F·v
Для того, щоб знайти швидкість тіла, попередньо знайдемо його прискорення a, скориставшись другим законом Ньютона
a = F/m = (2ti + 3t2j)/m
Швидкість знайдемо інтегруючи вираз для прискорення за часом
v = adt = (t2i + t3j)/m
Відповідно
P = (2t3 + 3t5)/m
Відповідь: P = (2t3 + 3t5)/m (Вт)
Деяка кількість ідеального газу з одноатомними молекулами здійснила при тиску P = 1·105 Па оборотний ізобарний процес, під час якого об’єм газу змінився від значення V1 = 0,01 м3 до V2 = 0,02 м3. Визначити: а) приріст внутрішньої енергії газу U; б) виконану газом роботу A; в) отриману газом кількість теплоти Q.
Розв’язання. а) Приріст внутрішньої енергії при будь-якому процесі визначається за формулою:
,
де i – кількість ступенів свободи (для одноатомного газу i = 3) – кількість речовини, R – газова стала (R = 8,31 Дж/моль·К), T – абсолютна температура (T = T2 – T1).
Щоб виключити температуру скористаємось рівнянням Менделєєва-Клапейрона, записавши його для двох станів газу:
PV1 = RT1
PV2 = RT2
Звідси отримуємо:
Підставимо чисельні значення:
б) Робота при ізобарному процесі визначається за формулою:
Підставимо чисельні значення:
в) Отриману газом кількість теплоти визначимо за допомогою першого закону термодинаміки:
Підставимо чисельні значення:
Відповідь: а) U = 2,5 кДж; б) A = 1 кДж; в) Q = 2,5 кДж.
Площа кожної обкладки плоского конденсатора S = 1 м2, відстань між обкладками d = 5 мм. Зазор між обкладками заповнено двошаровим діелектриком. Проникність і товщина першого шару 1 = 2, d1 = 3 мм, другого шару 2 = 3, d2 = 2 мм. Знайти ємність конденсатора.
Розв’язання. Порівнявши чисельні значення відстані між обкладинками та товщин шарів діелектрика можна зробити висновок, що конденсатор щільно заповнено діелектриком без повітряних зазорів. Такий конденсатор можна представити як систему з двох послідовно з’єднаних конденсаторів. Ємність такої системи:
Ємність кожного з конденсаторів можна визначити за формулою ємності плоского конденсатора:
Відповідно, ємність конденсатора з двошаровим діелектриком:
Підставимо чисельні значення:
Відповідь: С = 4,1 пФ.
У мідному провіднику завдовжки l = 2 м, площа поперечного перерізу якого S = 0,4 мм2, проходить струм. При цьому кожну секунду виділяється Q = 0,35 Дж теплоти. Скільки електронів n проходить за час t = 1 с крізь поперечний переріз цього провідника?
Розв’язання. Опір провідника визначається за формулою:
де – питомий опір провідника (для міді = 1,72·10–8 Ом·м).
Кількість теплоти, яка виділяється в провіднику за час t визначається законом Джоуля-Ленца:
Q = I2Rt
Сила сталого струму I зв’язана з зарядом q, що проходить по провіднику співвідношенням:
Кількість електронів можна визначити, поділивши заряд q на заряд електрона e (e = 1,6·10–19 Кл).
З наведених співвідношень отримуємо:
Підставимо чисельні значення
Відповідь: n = 1,26·1019 c–1.