2.4.2. Розрахунок прогину плити

Прогин в середині прольоту плити визначають за формулою

f = s l_o²· (l / r),

де s – коефіцієнт, який залежить від розрахункової схеми елементу. Для вільно опертої балки при рівномірно розподіленому навантаженні s =5 / 48.

Граничний прогин для ребристої плити становить [f]=2,5(см).

Повна кривизна 1 / r в середині прольоту плити визначається за формулою:

1 / r = ( 1 / r)₁ – ( 1 / r )₂ + (1 / r)₃,

де (1 / r)₁ - кривизна від короткочасної дії всього навантаження;

(1/r)₂ – кривизна від короткочасної дії постійного і довготривалого навантаження;

(1/r)₃ – кривизна від тривалої дії постійного і довготривалого навантаження.

Кривизни (1 / r)₁, (1 / r)₂ , (1 / r)₃ визначаються за формулою:

1 / r = ,

при цьому (1 / r)₁ і (1 / r)₂ визначаємо при значені ψ_s, що відповідає короткочасній дії навантаження, а (1 / r)₃ - при ψ_s, що відповідає тривалій дії навантаження.

Коефіцієнт ψ_s, що враховує роботу розтягнутого бетону на ділянках між тріщинами, визначаємо за формулою:

ψ_s = 1,25 – φ_ls · φ_m ≤ 1,0,

тут φ_ls коефіцієнт, що враховує тривалість дії зовнішнього навантаження, приймається:

φ_ls1 = φ_ls2 = 1,0; φ_ls3 = 0,8.

Коефіцієнт φ_m визначається за формулою:

тут М_r – нормативне значення згинального моменту від відповідного навантаження, а саме : М_r1 = 58,1 (кН· м), М_r2 = М_r3 =29,4 (кН· м).

Пружно-пластичний момент опору поперечного перетину відносно нижньої грані визначається за формулою W_p1 = γ · W_red,

де γ = 1,75 –для таврового перерізу з поличкою в стиснутій зоні бетону.

Момент опору приведеного поперечного перерізу по нижній зоні

W_red = I_red/Y_o.

Для обчислення I_red і Y_o визначаємо площу приведеного перерізу.

При α = E_s / E_b = 20 · 10⁴ / 27 · 10³ = 7,4.

A_red =A+α·A_s=b_f ^/h_f ^/+b·(h–h_f ^/)+α·A_s=146·5+15·(30–5)+7,4·7,6=1161,3(см²).

Статичний момент приведеного перерізу відносно нижньої грані

S _red = b_f ^/ · h_f ^/ · (h – 0,5 · h_f ^/ ) + b · (h – h_f ^/) · 0,5· (h – h_f ^/) + α · A_s · a =

= 146·5·(30–0,5·5)+15·(30–5)·0,5·(3 –5) + 7,4·7,6·3 = 24931,4 (см³).

Відстань від нижньої грані до центра ваги приведеного перерізу

Y_o = S _red / A _red = 24931,4 / 1161,3 = 21,47 (cм).

Момент інерції приведеного перерізу відносно його центра ваги

I_red = b_f ^/ · (h_f ^/)³ / 12 + b_f ^/ · h_f ^/ · (h – 0,5 · h_f ^/ – y_o)² + b · (h – h_f ^/)³ / 12 +

b ·(h – h_f ^/) · (h – 0,5 · h_f ^/ – y_o)² + α · A_s · (y_o – a)² = 146 ·5³ / 12 + 146 ·5 ×

× (30 – 0,5 ·5 – 21,47)² + 15 · (30 – 5)³ / 12 = 28874,05 (см⁴).

Обчислюємо :

W_red = 1161,3 / 21,47 = 5408 (см³);

W_p1 = 1,75 · 5408 = 9464 (см³);

φ_m1 = 1,6 · (100) · 9464 / 50,1 · 10⁵ = 0,3;

φ_m2 = φ_m3 = 1,6 · (100) · 9464 / 32,3 · 10⁵ = 0,47;

ψ_s1 = 1,25 – 1,0· 0,3 = 0,95 < 1,0, приймаємо ψ_s1 = 0,95;

ψ_s2 = 1,25 – 1,0· 0,47 = 0,78;

ψ_s3 = 1,25 – 0,8 · 0,47 = 0,874 < 1,0 приймаємо ψ_s3 = 0,874.

Для спрощення подальшого розрахунку, без суттєвої похибки і її впливу на точність результатів, наближено приймаємо висоту стиснутої зони бетону рівної товщині полички, тобто x = h _f ^/ = 5 (см),

тоді z = h_o – 0,5 · h‘_f = 27 – 0,5 · 5 = 24,5 (см).

Обчислюємо

(l/r)₁=(58,1 · 10⁵ · 0,95) / (24,5 · 8,04 · 20 · 10⁶ · (27 –5,0)) = 6,4 · 10^-5 (1/см);

(l/r)₂=(29,4 · 10⁵ · 0,78)/(24,5 · 8,04 · 20 · 10⁶ · (27 –5,0))=2,65 · 10^-5 (1/см);

(l/r)₃=(29,4 · 10⁵ · 0,874) / (24,5 · 8,04 · 20 · 10⁶ · (27 – 5,0))=2,96 · 10^-5 (1/см);

(l/r)=(6,4 – 2,65+ 2,96) · 10^-5 = 6,71· 10^-5 (1/см).

Кінцевий прогин плити в середині її прольоту

f=5 / 48 · 553² · 6,71· 10^-5 = 0,5 (см) < [f] = 2,5 (см),

тобто жорсткість плити достатня.