7.5. Связность графа

Неориентированный граф называется связным, если каждая пара различных вершин может быть соединена, по крайней мере, одной цепью.

Ориентированный граф называется сильно связным, если для любых двух его вершин и существует хотя бы один путь, соединяющий с . Ориентированный граф называется односторонне связным, если для любых двух его вершин, по крайней мере, одна достижима из другой.

Компонентой связности неориентированного графа называется его связный подграф, не являющийся собственным подграфом никакого другого связного подграфа данного графа (максимально связный подграф).

Компонентой сильной связности ориентированного графа называется его сильно связный подграф, не являющийся собственным подграфом никакого другого сильно связного подграфа данного графа (максимально сильно связный подграф).

Компонентой односторонней связности ориентированного графа называется его односторонне связный подграф, не являющийся собственным подграфом никакого другого односторонне связного подграфа данного графа (максимально односторонне связный подграф).

Пусть неориентированный граф с множеством вершин . Квадратная матрица порядка , у которой

называется матрицей связности графа .

Для ориентированного графа квадратная матрица порядка , у которой

называется матрицей односторонней связности (достижимости).

Квадратная матрица порядка , у которой

называется матрицей сильной связности.

Пример. У неориентированного графа, изображенного на рис. 22 две компоненты связности. Первая компонента связности включает вершины , а вторая состоит из одной вершины .

Рис. 22. Компоненты связанности неориентированного графа

Матрица связности этого графа имеет вид: .

Мы видим, что 1-ая, 2-ая, 4-ая и 5-ая строки матрицы одинаковы.

Пример. У ориентированного графа, изображенного на рис. 23 две компоненты сильной связности. Первая компонента связности включает вершины , а вторая состоит из одной вершины . Действительно, для любой пары вершин из множества существует хотя бы один путь, соединяющий эти вершины. Например, путь соединяет все эти вершины. Из вершины нет пути ни в одну вершину графа.

Рис. 23. Компоненты сильной связанности ориентированного графа

Матрица сильной связности этого графа имеет вид:

.

Заметим, что 1-ая, 2-ая, 3-ая и 5-ая строки матрицы одинаковы.

Для того, чтобы выделить компоненты сильной связности, необходимо сначала найти матрицу достижимости ориентированного графа, затем находим матрицу сильной связности ориентированного графа (она должна быть симметрической).

Алгоритм выделения компонента сильной связности:

1. Присваиваем ( − количество компонент связности), .

2. Включаем в множество вершин компоненты сильной связности вершины, соответствующие единицам первой строки матрицы . В качестве матрицы смежности возьмем подматрицу матрицы , состоящую из элементов матрицы , находящихся на пересечении строк и столбцов, соответствующих вершинам из .

3. Вычеркиваем из строки и столбцы, соответствующие вершинам из . Если не остается ни одной строки (и столбца), то  количество компонент сильной связности. В противном случае обозначим оставшуюся после вычеркивания срок и столбцов матрицу как , присваиваем и переходим к п. 2.

Пример. Выделим компоненты связности ориентированного графа, изображенного на рис. 25. Количество вершин .

Рис. 25.

Значит, для данного ориентированного графа матрица смежности будет иметь размерность и будет выглядеть следующим образом

.

Найдем матрицу достижимости и матрицу сильной связности для данного ориентированного графа:

, .

Присваиваем , и составляем множество вершин первой компоненты сильной связности : это те вершины, которым соответствуют единицы в первой строке матрицы . Таким образом, первая компонента сильной связности состоит из одной вершины .

Вычеркиваем из матрицы строку и столбец, соответствующие вершине , чтобы получить матрицу .

Присваиваем . Множество вершин второй компоненты связности составят те вершины, которым соответствуют единицы в первой строке матрицы , то есть . Составляем матрицу смежности для компоненты сильной связности исходного графа − в ее качестве возьмем подматрицу матрицы , состоящую из элементов матрицы , находящихся на пересечении строк и столбцов, соответствующих вершинам из :

.

Вычеркиваем из матрицы строки и столбцы, соответствующие вершинам из ,чтобы получить матрицу , которая состоит из одного элемента , присваиваем . Таким образом, третья компонента сильной связности исходного графа, как и первая, состоит из одной вершины .

Таким образом, выделены 3 компоненты сильной связности ориентированного графа :

:

:

: