Дифференциальные уравнения.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции. Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких – то уравнением в частных производных.

Дифференциальное уравнение можно записать в виде: , где– некоторая функцияпеременных.

Порядок старшей производной называетсяпорядком дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение -го порядка называетсяразрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид: , где некоторая функция от переменной.

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество.

Пример. Найти решение дифференциального уравнения .

Решение:

Ответ:

Общим решением дифференциального уравнения -го порядка называется такое его решение, которое является функцией переменнойипроизвольных постоянных.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях.

Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение из предыдущего примера . Тогда общим решением будет

,

а частным решением: или.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид: или, где– независимая переменная; неизвестная функция и ее производная.

Учитывая, что уравнение первого порядка можно записать в форме:.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция вида , где– произвольная постоянная, удовлетворяющая условиям:

1. Для любого значения она является решением уравнения;

2. При любом допустимом начальном условии найдется такое значение, что.

Если общее решение не представлено в явном виде, то оно называется общим интегралом.

Задача нахождения частного решения, удовлетворяющего заданному начальному условию , называетсязадачей Коши.

Пример. Дана задача Коши . Найти частное решение.

Решение: Общее решение имеет вид

, .

Подставляем начальные условия:

Получим, что частное решение данной задачи Коши .

Ответ: .

Теорема Коши о существовании и единственности решения. Пусть дано дифференциальное уравнение . Если функцияи ее частная производнаянепрерывны в некоторой областиплоскости, то в некоторой окрестности любой внутренней точкиэтой области существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее условиюпри.

Геометрически общее решение представляет собой однопараметрическое семейство интегральных кривых на плоскости . Частное решение – одна из кривых этого семейства, проходящая через точку.

Типы дифференциальных уравнений первого порядка:

1. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными имеет вид:

или ,

где – непрерывные функции.

Разделив обе части уравнения на , получим уравнение:

,

.

В полученных уравнениях левая часть зависит только от , а правая часть только от, т.е. переменные разделены.

Поскольку дифференциалы равны, то их неопределенные интегралы различаются на постоянную величину. Интегрируя слева по переменной , а справа по переменной, получаем:

или .

Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения при начальных условиях.

Решение:

.

Ответ: .

Пример. Найти решение дифференциального уравнения .

Решение:

Ответ: .

2. Неполные дифференциальные уравнения первого порядка – это дифференциальные уравнения, в которых функцияявно зависит только от одной переменной:

А) Пусть зависит только от, тогда, откуда получаем:.

Б) Пусть зависит только от, т.е.– это уравнение называетсяавтономным. Откуда получаем: .

3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка имеют вид: .

Если , то уравнениеназываетсялинейным однородным уравнением, если , то –линейным неоднородным уравнением.

А) Однородное уравнение – это уравнение, приводящееся к виду: . Подстановкойоднородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример. Найти решение дифференциального уравнения .

Решение: Воспользуемся подстановкой, приводящей исходное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными, и решим его:

Выполним обратную замену и получим искомое решение:

Ответ: .

Б) Линейное неоднородное дифференциальное уравнение подстановкойсводится к уравнению. Далее требуется, чтобы, тогда из этого уравнения можно найти, а из предыдущего зная, находят. Знаяи, находят.

Для решения неоднородного линейного уравнения также можно использовать метод вариации произвольных постоянных. Этот метод состоит в том, что сначала находят общее решение соответствующего однородного линейного уравнения, т.е. . Затем, полагают в решении однородного уравнениявеличинуищут решение неоднородного уравнения. Для этого подставляют в неоднородное уравнениеи, и из полученного дифференциального уравнения определяют функцию. Таким образом, общее решение неоднородного уравнения имеет вид:.

Пример. Найти решение дифференциального уравнения

.

Решение: 1 способ.

Используя подстановку , уравнение примет вид

Приравнивая скобку к нулю, находим :

Зная , можно посчитать:

Ответ: .

2способ. Находим общее решение соответствующего однородного линейного уравнения

Пусть в решении однородного уравнения величина , получим решение неоднородного уравнения

Ответ: .

4. Уравнение Бернулли – это нелинейное уравнение, которое можно привести к линейному соответствующей заменой неизвестной функции . Уравнение Бернулли имеет вид:, гдеи– непрерывные функции; постоянное число, . Данное уравнение приводится к линейному заменойтогда. Разделим обе части уравнения Бернулли на:. Умножим обе части на:. Переходим к:.

Пример. Найти решение дифференциального уравнения .

Решение: Разделим обе части уравнения на и умножим на, получим. Используя замену, наше уравнение примет вид, а это линейное неоднородное дифференциальное уравнение.

Найдем сначала решение однородного уравнения:

Принимаем и находим решение неоднородного уравнения:

Ответ: .