Практична робота № 5

Тема: Апроксимація функцій.

Мета: Вивчити способи проведення апроксимації табличних даних в MATHCAD.

Ознайомитися з функціями побудови рівнянь регресії в MATHCAD.

Теоретичні відомості

Лінійну регресію в системі Mathcad можна побудувати за допомогою:

1. вбудованої алгоритмічної мови Mathcad;

2. вбудованих функцій, а саме:

функцій slope(X,Y) і intercept(X,Y), які обчислюють відповідно коефіцієнти a₁ і a₀ ;

функції line(X,Y), яка обчислює вектор, що складається з елементів a₀,a₁;

функції interp(S, X, Y, x) разом з функцією regress(X, Y, m), в якій аргумент m =1.

Оскільки доволі часто досліджувані процеси змінюються за нелінійними законами, то для моделювання таких залежностей краще використовувати нелінійні поліноміальні регресії, зокрема, квадратичну та кубічну регресії.

Квадратична регресія описується рівнянням y=a₀ +a₁ x +a₂ x², де a₀, a₁, a₂ – невідомі коефіцієнти, які за методом найменших квадратів є розв’язком системи лінійних алгебраїчних рівнянь

В системі Mathcad квадратичну і кубічну регресії за допомогою вбудованої функції interp можна реалізувати відповідно у такий спосіб:

interp(regress(X, Y, 2), X, Y, x) і interp(regress(X, Y, 3), X, Y, x).

В пакеті Mathcad є можливість побудувати апроксимуючу функцію, що складається з набору квадратичних парабол, що найкращим чином наближують вхідні дані X, Y, але кожна з них є апроксимуючою функцією локально на своїй частині розглянутого відрізку аргументу X. Цю кусочно-квадратичну регресію можна отримати за допомогою вбудованої функції interp(S, X, Y, x) разом з допоміжною вбудованою функцію loess(X, Y, span) Ця функція формує вектор, який визначає набір апроксимуючих квадратичних парабол. Аргумент span (span>0) функції loess визначає довжину тієї частини розглянутого відрізку для локального наближення кожною з квадратичних парабол. Величина span впливає на якість наближення функцій. Для кращого наближення функції, що коливається, треба брати менші значення цього параметру. При більших значеннях span коливання даних згладжуються, тобто в результаті наближення отримаємо більш згладжену апроксимуючу функцію. Для великих значень span функції loess(X, Y, span) матимемо результат еквівалентний дії функції regress(X, Y, 2).

Порядок виконання роботи:

Дано таблицю значень досліджуваної функції Y=Y(X). Побудувати для неї:

1. Лінійну регресію :

   1. За допомогою методу найменших квадратів.

   2. З використанням функції line;

   3. З використанням вбудованих функцій slope, intercept;

   4. З використанням вбудованої функції interp разом із функцією regress

   5. Побудувати графік лінійної регресії разом з вузловими точками;

   6. Знайти значення значення досліджуваної функції в проміжних точках, а також значення в прогнозній точці;

   7. Побудувати графік похибки в вузлових точках;

   8. Визначити коефіцієнт детермінації R²;

   9. Побудувати таблицю значень для цієї моделі для заданого проміжку з кроком Δх=1.

2. Квадратичну регресію за допомогою методу найменших квадратів, а також з використанням вбудованої функції interp.

   1. Побудувати графіки регресії разом з вузловими точками;

   2. Знайти значення досліджуваної функції в точках х=2, х=5, та прогнозне значення в точці х=100.

3. Поліноміальну регресію 4-ступеня за допомогою методу найменших квадратів.

   1. Побудувати графіки регресії разом з вузловими точками;

   2. Побудувати графік похибки регресії в вузлових точках.

   3. Побудувати таблицю значень для цієї моделі для х[0;10] з кроком Δх=1

   4. Знайти значення досліджуваної функції в точках х=2,5, х=5,5, та прогнозне значення в точці х=91.