2. Инструментальные переменные
Для получения несмещенных (по крайней мере состоятельных) оценок параметров эконометрических моделей в ситуациях, когда имеют место (теоретически допускаются) корреляционные взаимосвязи между независимыми переменными xit и ошибкой t, теория рекомендует подходы и методы, основанные на использовании инструментальных переменных.
Суть данного метода состоит в замене коррелирующей переменной на другую - инструментальную переменную (ИП, (IV)), которая обладает следующими свойствами:
• она должна коррелировать (желательно сильно) с заменяемой объясняющей переменной;
• она не должна коррелировать со случайным отклонением.
Опишем схему использования инструментальных переменных на примере парной регрессии, в которой :
. (13.19)
Переменную X заменяют переменной Z такой, что и . Принципы использования инструментальных переменных основаны на выполнимости следующих условий:
. (13.20)
Соответствующие выборочные оценки данных условий:
(13.21)
В развернутом виде (13.21) имеет вид:
(13.22)
Тогда из (13.22) следует:
(13.23)
Допустим, что при увеличении объема выборки D(X) стремится к некоторому конечному пределу , а ковариация - к конечному пределу . Тогда стремится к истинному значению , поскольку из (13.23) следует:
.
Здесь мы воспользовались следующими соотношениями: , так как . При больших объемах выборки распределение стремится к нормальному:
так как .
Таким образом, в пределе метод инструментальных переменных приводит к тем же результатам, что и МНК.
Однако в общем случае оценки, полученные с использованием инструментальных переменных, являются неэффективными. Для получения эффективных оценок на базе инструментальных переменных можно использовать обобщенный МНК, о чем мы вели речь на практическом занятии 9.
В дополнение к этим сведениям и для расшифровки ряда терминов из эконометрических пакетов необходимо учесть следующее.
Основной проблемой устранения гетероскедастичности является необходимость априорного знания среднеквадратических отклонений случайных ошибок регрессии, т.е. построения ковариационной матрицы случайных ошибок
где
.
Оценки элементов матрицы находят с помощью метода Бреуша—Пагана:
1) на основании уравнения регрессии находят остатки ei и сумму квадратов остатков
2) оценкой дисперсии остатков регрессионной модели полагают величину:
3) строят взвешенную регрессию, где весами является оценка дисперсии остатков регрессионной модели
4) если взвешенное уравнение регрессии получается незначимым, то проводят уточнение спецификации модели и процедуру повторяют.
Все эти сведения - точка зрения математиков на повышение адекватности модели. Но какое все это имеет отношение к экономике, точнее что важнее точность расчетов или соответствие реальной ситуации?