Лекция 9 Регрессионный анализ при нарушении предпосылок классических методов

Учебные цели:

1. Совершенствовать навыки эконометрического моделирования.

2. Сформировать теоретическую базу для практических занятий.

Учебные вопросы:

1. Трудности МНК в спецификации модели и пути их преодоления.

2. Инструментальные переменные.

3. Тест Хаусмана.

4. Процедура получения оценок максимального правдоподобия.

1. Трудности мнк в спецификации модели и пути их преодоления

Метод наименьших квадратов (МНК) в силу требований теоремы Гаусса-Маркова при оценивании множественной линейной регрессии предполагает:

• проверку правильности выбора экзогенных переменных;

• корректность формы связи между эндогенной и экзогенными переменными.

Первую проблему создают пропущенные и избыточные экзогенные переменные.

Под пропущенными переменными понимают существенные факторы, которые по ошибке не были включены в эконометрическую модель.

Пропущенные переменные смещают оценки коэффициентов при уже включенных переменных.

Действительно, пусть «истинная» модель имеет вид

но выбрана модель с пропуском переменной x₂:

Применив МНК для оценки «усеченной» модели, получим смещение для оценки :

,

определяемое корреляцией x₁ и x_2.

В общем случае признаком, по которому определяют пропущенную переменную, служит положительная величина произведения оценки коэффициента при переменной, полагаемой пропущенной, на коэффициент корреляции этой переменной со всеми уже включенными в модель переменными.

Пример

Оценивается связь потребления птицы с располагаемым доходом и ценами на говядину и птицу в обозначениях:

Если не учитывать в модели цену на говядину PB_t, то получим следующую оценку потребления птицы:

Но из факта, что следует ожидать положительную корреляцию цен на птицу с ценами на говядину и величиной располагаемого дохода, имеем:

Введя пропущенную переменную – цену говядины PB_t, получим:

Цену на говядину целесообразно вводить в модель, поскольку возрос коэффициент детерминации.

Экзогенную переменную относят к избыточным, если она по ошибке включена в эконометрическую модель.

Включение избыточной переменной оказывает влияние на уменьшение точности (увеличение дисперсии) оценок параметров модели, что, в свою очередь вызывает уменьшение t-статистик и коэффициента детерминации.

Основные правила спецификации линейной модели по числу переменных:

1. Опираясь на экономическую теорию, ответить на вопрос: «Является ли анализируемая экзогенная переменная существенной в определении поведения эндогенной?».

2. Осуществить проверку значимости коэффициентов модели с помощью t-статистик.

3. Оценить насколько значимо изменяются коэффициент детерминации и оценки коэффициентов при других переменных после добавления (исключения) новой переменной. (См. тесты Рамсея и Лагранжа в предыдущих лекциях.)

Итак, основные пути исправления ошибок спецификации – коррекция набора переменных либо отказ от линейной формы регрессии.

Однако при нелинейности моделей в применении МНК также возникают существенные трудности.

Предпосылки МНК требуют, чтобы отклонения являлись нормально распреде­ленными случайными величинами и не коррелиро­вали друг с другом, т.е. при . В противном случае оценки, по­лученные по МНК, не будут обладать свойствами BLUE-оценок.

Для описания возможных проблем со случайным отклоне­нием рассмотрим три возможных случая степенной модели:

, (1)

, (2)

. (3)

Прологарифмировав каждое из этих соотношений, соответственно получим:

, (4)

, (5)

, где . (6)

Таким образом, использование (4) для оценки параметров в модели (1) не вы­зовет осложнений, связанных со случайным отклонением.

Преобразование же (2) в (5) приводит к преобразованию случайных отклонений в . Использование МНК потребует, чтобы от­клонения удовлетворяли предпосылкам МНК: . Но это возможно только в очень специфическом случае логарифмически нормального распределения случайной величины с матожиданием и дисперсией .

Логарифмирование соотношения (3) вообще не приводит к его линеа­ризации относительно параметров регрессии. В этом случае для нахождения оценок параметров МНК неприменим, и необходимы численные итерационные процедуры.

Что делать если требования к поведению остатков не выполняются?