Задача №2

Для вала определить:

1. Значения моментов,

2. Построить эпюру крутящих моментов,

3. Из условия прочности на кручение определить диаметры отдельных его участков, если [] =20 МПа

Исходные данные:

Р1=20 кВт Р2=35 кВт

Р3=45 кВт n=1000 об/мин.

Решение: Мощность Р0 на ведущем шкиву равна сумме мощностей на ведомых, т.к. потерями в опорах пренебрегаем.

Р0=Р1+Р2+Р3=20+35+45=100 кВт

Определяем величины скручивающих моментов, которые передаются на вал от отдельных шкивов

Мвр=(9,55_*Р)/n Hм

где Р- мощность, кВт

n- частота вращения вала, об/мин.

Мвр1=(9,55_*20_*10³)/1000=191 Hм

Mвр2=(9,55_*35_*10³)/1000=335 Hм

Мвр3=(9,55_*45_*10³)/1000=430 Hм

Мвр4=(9,55_*100_*10³)/1000=955 Hм

Величины крутящих моментов Мк на отдельных участках вала находят применив метод сечений, крутящий момент равен сумме скручивающих моментов, действующих на одну часть вала. Находим величину крутящего момента на 1 участке отбросив правую часть и приняв за положительный скручивающий момент, направленный против часовой стрелки.

Мк1= М1=191 Нм

на 2 участке

Мк2=М1+М2=191+335=526 Нм

на 3 участке

Мк3=М1+М2-М0=191+335-955=-431 Нм

Строим эпюру крутящих моментов (рис. 10).

Диаметр вала из условия прочности на кручение находят по формуле

на 1 участке

принимаем по ГОСТу d1=36 мм

на 2 участке

принимаем d2=52 мм

на 3 участке

принимаем d3=48 мм.

Задача №3

Для балки требуется:

1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;

2. Из расчета на прочность подобрать двутавровое сечение, если []=100 МПа

Решение: Сечение, где приложены силы, момент, начинается и кончается распределенная нагрузка, обозначим точками A, B, C, D. Реакции опор RB и RD направим вверх. Их значения найдем из условия, что при статическом равновесии сумма всех моментов относительно какой- либо точки равна нулю. Уравнения равновесия целесообразно составлять относительно опор, тогда в уравнении будет по одной неизвестной. За положительные принимаем моменты, действующие против часовой стрелки, за отрицательные - по часовой.

mB=0

F_*1-q_*1,5_*(1,5/2)-M+RD_*2,5=0

Момент, создаваемый равномерно распределенной нагрузкой, можно рассматривать как момент, создаваемый сосредоточенной силой, равной произведению значения нагрузки на расстояние, на котором она действует, приложенной на середине этого участка.

Q=q_*1,5

Следовательно, момент от распределенной нагрузки относительно точки В равен

МqB=-q_*1,5_*(1,5/2)

Подставим численные значения и определим реакцию опоры D

40_*1-30_*1,5_*0,75-35+2,5_*RD=0

2,5RD=28,75 RD=11,5 кН

mD=0

F_*3,5-RB_*2,5+q_*1,5(1,5/2+1)-M=0

40_*3,5-2,5_*RB+30_*1,5_*1,75-35=0

2,5RB=183,75 RB=73,5 кН

Определив реакции опор, необходимо выполнить проверку. Для этого составляется третье уравнение равновесия. Сумма всех сил на вертикальную ось Y должна быть равна нулю. Силы, направленные вверх, берутся со знаком плюс, направленные вниз - со знаком минус.

Y=0 -F+RB-q_*1,5+RD=0

Момент М представляет собой пару сил, поэтому в этом уравнении не учитывается

-40+11,5-30_*1,5+73,5=0 -85+85=0

Проверка показала, что реакции определены правильно. В случае, если сумма положительных сил не равна сумме отрицательных, следует искать ошибку при определении реакций. Приступать к построению эпюр поперечных сил Q изгибающих моментов Мu, если реакции определены неправильно не следует.

Приступим к построению эпюры Q. Рассмотрим сечение на участке АВ на расстоянии z1, от точки А. Величина поперечной силы в сечении равна сумме всех внешних сил, действующих на балку по одну сторону от сечения. Если рассматривать левую часть балки, то на нее действует лишь сила F, направленная вниз. Согласно правила знаков, если слева от сечения внешняя сила направлена вниз, то вызываемая ее поперечная сила отрицательна. Поэтому

Qz1=-F=-40 кН

Из полученной зависимости Qz, видно, что значение поперечной силы на участке АВ не зависит от z, т.е. постоянно, поэтому на эпюре в выбранном масштабе проводим горизонтальную линию ав.

Определим поперечную силу на участке ВС. Рассмотрим сечение на расстоянии z2 от точки А. Слева от сечения действуют силы: F, направленная вниз, реакция опоры RB, направленная вверх, и распределенная нагрузка на длине балки (z2=1), направленная вниз.

Как уже было отмечено, согласно правила знаков рассматриваемые слева от сечения силы, направленные вверх, вызывают положительную Q, направленные вниз- отрицательную.

Qz2=-F+RB-q(Z2-1)

Qz2=-40+73,5-30(Z2-1)=33,5-30(Z2-1)

Полученное уравнение представляет собой наклонную прямую, поскольку Z2 имеет первую степень.

Определим значения Qz2 для точек В и С:

ZB=1 м

Qz=33,5-30(1-1)=33,5 кН

Zc=2,5 м Qzc=33,5-30(2,5-1)=33,5-45=-11,5 кН

В выбранном масштабе откладываем значения Q и проводим линию В2С.

Для облегчения подсчетов при определении Q на участке CD будем рассматривать правую часть балки, т.е. на нее действует лишь одна сила RD. Поэтому рассмотрим сечение на расстоянии Z3 от точки D. Согласно правила знаков, если на правую часть балки действует сила, направленная вниз, то вызываемая ее поперечная сила положительная и наоборот, если сила направлена вверх- то отрицательная. Сила RD направлена вверх, поэтому Q будет отрицательной.

Qz3=-RD=-11,5 кН

Это уравнение представляет собой горизонтальную прямую. В выбранном масштабе откладываем значение Qz3 и проводим линию dc.

Эпюра Q построена (рис.11 ). Проверим правильность построения:

1. В сечениях где приложена внешняя сила, эпюра должна делать скачек на величину этой силы;

2. Момент не влияет на эпюру;

3. На участке, где приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра представляет наклонную прямую.

В точках А, В и D эпюра имеет скачки, равные приложенным внешним силам F, RB, RD. На участке ВС эпюра представляет наклонную линию.

Строим эпюру изгибающих моментов Мu. Изгибающий момент равен сумме внешних моментов относительно сечения, приложенных к балке по одну сторону от сечения. Согласно правила знаков, если внешний момент стремится опустить конец рассматриваемой части балки, то вызываемый им изгибающий момент отрицательный, если же поднимет, то положительный.

Рассмотрим сечение на участке АВ на расстоянии Z1 от точки А. Слева от сечения действует лишь сила F, создающая момент относительно сечения МF=Fz1, стремящийся опустить конец балки А. Следовательно, изгибающий момент будет отрицательным и равным

Mu=-Fz1

Полученное уравнение представляет наклонную прямую. Определим значение Mu в точках А и В.

Z1=0 MuA=0

Z2=1 MuB=-F_*1=-40 кН_*м

На эпюре Mu в выбранном масштабе проводим прямую a`b`. Определим Mu для сечения на участке ВС, удаленного от точки А на расстоянии Z2.

Слева от сечения действуют моменты:

1. От силы F, равный MF=F_*Z2 и стремящийся опустить конец балки, следовательно, отрицательный.

2. От силы RB, равный MR=RB(Z2-1) и стремящийся поднять конец балки А, следовательно, положительный.

3. От распределенной нагрузки, равный Mq=q_*(Z1-1)_*((Z2-1)/2) и стремящийся опустить конец балки А, следовательно, отрицательный.

Изгибающий момент в сечении равен сумме всех внешних моментов, действующих на одну сторону сечения

Полученное уравнение представляет собой параболу, поскольку, Z2 во второй степени. Найдем значения Mu для точек В и С

Z2=1 м MuB=-40_*1+73,5_*(1-1)-30_*((1-1) 2/2)=-40 кНм

Z2=2,5 м Muc=-40_*2,5+73,5_*(2,5-1)-30_*((2,5-1)2/2)=-23,5 кНм

Определим значение Mu для сечения, где поперечная сила равна нулю, т.е. прямая b2c эпюры пересекает ось эпюры. Поперечная сила Q на участке ВС равна (см. определение Q на участке ВС)

Q=-40+73,5-30_*(Z2-1)=0 33,5-30_*Z2+30=0

отсюда: Z2=2,12 м

Mu=-40_*2,12+73,5_*(2,12-1)-30_*((2,12-1)2/2)=-84,8+82,3-18,8=-21,3 кНм

Это значение Mu=-21,3 кНм будет соответствовать максимальному значению (с учетом знака “-”) изгибающего момента на участке ВС. Это следует из условия, что если первая производная от функции равна нулю, то функция имеет в этом месте максимум или минимум. По найденным значениям Mu проводим параболу b`e`c1`.

Определим изгибающий момент на участке DC в сечении, удаленном на расстояние Z3 от точки D. Будем рассматривать правую часть балки, что позволит сократить расчеты. На правую часть балки действует только сила RD, стремящаяся поднять конец балки Д вверх. Следовательно, изгибающий момент будет положительным и равным Мu=RD_*Z3

Это уравнение представляет собой наклонную прямую линию.

Определим значения Мu для сечений Д и С.

Z3=0 Мu_о=0

Z3=1 м Мu_c=11,51=11,5 kHм

Проведем прямую c2`d`

Эпюра Mu построена (рис.11). Следует проверить правильность построения по следующим условиям:

1. В конечных сечениях балки эпюра равна нулю, если в них не приложен внешний момент. Если внешний момент приложен в концевом сечении, то Mu равен его значению.

2. На участках, свободных от распределенной нагрузки, эпюра представляет наклонную прямую (в частном случае может быть параллельной оси эпюры).

3. На участках, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой, эпюра изображается параболой, дуга которой направленна в обратную сторону нагрузки.

4. В сечениях, где приложен внешний момент, эпюра делает скачек на величину этого момента.

5. На участках, где эпюра Mu восходящая (при движении слева направо поперечная сила положительная и, наоборот, где Mu нисходящая, Q отрицательная.

6. В точке, где эпюра Q пересекает ось, Mu имеет экстремум.

В сечениях А и Д значение Mu равно нулю (см. пункт 1). На участках АВ и СД эпюра представляет наклонную прямую (см. пункт 2). На участке ВС эпюра представлена параболой (см. пункт 3). В сечении С эпюра делает скачек на величину 11,5+23,5=35 kHм, равную внешнему моменту (см. пункт 4).

На участке АВ значение Mu убывает, на эпюре Q имеет отрицательное значение (см. пункт 5). На участке эпюры b`e` значение возрастает (с учетом знака) и Q имеет положительное значение, а на e`c`-убывает и Q имеет отрицательное значение. В точке, где эпюра Q пересекает ось, значение Mu имеет экстремум (см. пункт 6). На участке балки СД значение Mu убывает, Q имеет отрицательное значение (см. пункт 5). Проверка показала, что эпюры Q и Mu построены правильно.

Определим опасное сечение балки. Им будет сечение В - где изгибающий момент имеет наибольшее значение (без учета знака).

Mumax=40 kHм

Подбор сечения производят по формуле:

Wx=Mumax/[]

где Wx - осевой момент сопротивления сечения

Wx=(40_*10³ Нм)/(100_*10⁶ Н/м²)=((40_*10³)/(100_*10⁶)_*10⁶ см³)=400 см³

Значение перевели в см³, потому что в таблицах сортамента, приведенных в конце учебника, основной момент сопротивления сечения Wx дан в этих единицах. По таблице находим:

№ 27 Wx=371 см³,

№ 27а Wx=407 см³.

Номер балки 27 имеет Wx меньше требуемого. Следовательно, напряжения будут превышать допускаемые. Но превышение до 5% считается несущественным. Если взять балку 27а, у которой Wx больше требуемой величины, то напряжения будут меньше допускаемых, балка на прочность выдержит, но материал будет полностью загружен. Поэтому вначале проверим, можно ли применить балку № 27, у которой профиль меньше, и следовательно, балка легче и дешевле, чем № 27а.

((Wxтреб-WxменьшеN)/(WxменьшеN))_*100%=((400-371)/371)_*100%=7,8%

Балка № 27 не выдержит на прочность, поэтому берем № 27а, у которой Wx больше требуемого.

ЛИ­ТЕ­РА­ТУ­РА