1) Линейные преобразования. Их запись матрицами.

Пусть    --   -мерное линейное пространство, в котором задан базис   , 

  -- линейное преобразование. Возьмем произвольный вектор   . Пусть    -- его координатный столбец. Координатный столбец вектора   обозначим   .

Запишем разложение вектора   по базису пространства   . Для образа этого вектора получим

(19.2)

Векторы   имеют какие-то координатные столбцы, обозначим

их   ,   , ...,   соответственно. В этой записи первый индекс показывает номер координаты, а второй индекс -- номер вектора. Соответственно,

Подставим это выражение в равенство (19.2) и, изменим порядок суммирования

Это равенство означает, что   -той координатой вектора   служит   .

Составим матрицу   из координатных столбцов векторов   , ..., 

Вычислим произведение матрицы   на столбец 

Мы видим, что   -ый элемент столбца совпадает с   -ой координатой вектора   . Поэтому

(19.3)

Это означает, что в выбранном базисе действие любого линейного преобразования сводится к умножению матрицы на координатный столбец вектора.

Матрица   называется матрицей линейного преобразования   . Еще раз напомним, как она составлена: первый столбец является координатным столбцом образа первого базисного вектора, второй столбец -- координатным столбцом образа второго базисного вектора и т.д.

2) Закон умножения матриц как композиций линейных преобразований. Ассоциативность умножения

Операции над матрицами Умножение матрицы на число

Умножение матрицы   на число   (обозначение:  ) заключается в построении матрицы  , элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы  на это число, то есть каждый элемент матрицы   равен

Свойства умножения матриц на число:

• 1. 1A = A;

• 2. (λβ)A = λ(βA)

• 3. (λ+β)A = λA + βA 4. λ(A+B) = λA + λB

Ассоциативность умножения матриц

3) Определитель и его геометрический смысл. Определяющие свойства определителя.

    Если строки матрицы размера n*n рассматривать, как векторы пространства  , то преобразования строк не изменяющие значения определителя не меняют также и объем n-мерного параллелепипеда "натянутого" на векторы - сроки. И действительно - определитель - это объем со знаком (ориентированный объем)

4) Ранг системы векторов и матрицы. Различные определения ранга, их эквивалентность.  Несуществование "обратных" матриц для неквадратных матриц.

Рангом системы строк (столбцов) матрицы   с   строк и   столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Базисный минор матрицы   — любой ненулевой минор матрицы   порядка  , где  .

Существует несколько методов нахождения ранга матрицы:

• Метод элементарных преобразований

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.

• Метод окаймляющих миноров

Пусть в матрице   найден ненулевой минор  -го порядка  . Рассмотрим все миноры  -го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор  ; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен  . В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется.

Обратная матрица для неквадратной матрицы не существует т.к.

Для квадратной матрицы обратная существует тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю.

У неквадратной же матрицы определитель не существует, а значит и обратной матрицы к неквадратной нет.

5) Решение систем линейных уравнений. Однородные и неоднородные уравнения. Различные методы решения

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:

или:

.

Здесь   — это матрица системы,   — столбец неизвестных, а   — столбец свободных членов. Если к матрице   приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.

Однородные системы

Однородной системой линейных уравнений называется система вида:

Нулевое решение   системы (1) называется тривиальным решением.

Однородные системы всегда совместны, т.к. всегда существует тривиальное решение.

Если существует любое ненулевое решение системы, то оно называется нетривиальным.

Неоднородные системы

Неоднородной системой линейных уравнений называется система вида:

 — её расширенная матрица.

• Ме́тод Га́усса^[1] — классический метод решения системы линейных уравнений (СЛУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные^[2]. Достоинства : 1.Менее трудоёмкий по сравнению с другими методами. 2.Позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна, найти её решение. 3. Позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений — ранг матрицы системы^[4].

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы(причём для таких уравнений решение существует и единственно).

Пример

Система линейных уравнений:

Определители:

Решение:

Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с   неизвестными (над произвольным полем):

Тогда её можно переписать в матричной форме:

, где   — основная матрица системы,   и   — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на   — матрицу, обратную к матрице  : 

Так как  , получаем  . Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

.

6) Основная теорема арифметики.