Будовская Л.М., Тимонин В.И. Решение дифференциальных уравнений и их систем в среде MathСad
Введение
В настоящее время существует достаточно много программ (пакетов) для решения математических задач: MathCad, Matlab, Mathematica, Mapple и др. [1]. Они отличаются количеством охватываемых функций, графическими возможностями, качеством и удобством интерфейса с пользователем, возможностью обмена данными с другими пакетами, областью применения и другими характеристиками.
Мы выбрали пакет MathCAD как один из самых популярных среди математических пакетов. Он успешно используется в нашем Университете не только в математических дисциплинах [2,3], но и для выполнения курсовых работ и проектов на старших курсах.
Пакет MathCAD работает в среде Windows. В Университете на сегодняшний день используется версия пакета – MathCAD 14 [4]. Она русифицирована. В зависимости от русификации команды могут иметь разные названия, что вызывают некоторые трудности при написании методических пособий и рекомендаций по работе с пакетом. Кроме того, помощь в пакете не русифицирована. Появление новой версии чаще всего связано с расширением возможностей пакета или усовершенствованием интерфейса с пользователем.
Пакет Mathcad имеет мощный математический аппарат. Он содержит базовые математические функции, включая матричное исчисление, тригонометрию, численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, некоторые статистические алгоритмы, решение системы нелинейных уравнений, поиск экстремумов функциональных зависимостей и др.
Достоинством пакета является возможность записи условия задачи в привычной математической нотации. В пакете можно использовать буквы латинского и греческого алфавита. Имеется меню для различных математических символов.
Страница документа может содержать текст, математические выражения, двумерные и трехмерные графики, связанные с выражениями рисунки, созданные в других Windows-приложениях. Это позволяет получить полный отчет о проделанной работе в среде пакета.
В пакете имеется свой встроенный язык программирования, который позволяет писать свои программы, сопровождая их комментариями. Таким образом, можно создать свою библиотеку программ.
В пакете имеется удобная справочная система с примерами решения задач. Есть справочник по основным математическим и физико-химическим формулам и константам, которые можно автоматически переносить в документ.
Пакет также можно дополнить электронными учебниками по различным дисциплинам: решение обыкновенных дифференциальных уравнений, статистика, термодинамика, теория управления, сопротивление материалов и т.д.
Пакет снабжен средствами анимации, т.е. можно создавать анимационные клипы.
Однако возможности пакета для символьного решения дифференциальных уравнений ограничены.
Основные приемы использования пакета описаны в[3]. Рассмотрим возможности пакета для выполнения лабораторных работ.
Символьная математика
Для работы с символьной математикой используются команды из меню команды Символика.
Рис. 1
Рассмотрим некоторые символьные операции.
Команда Вычислить может использоваться как для вычисления производной, так и для вычисления определенного интеграла. В этом случае при записи выражений используются символы для обозначения производной и интеграла.
Упрощение выражений – команда Упростить. Она приводит подобные, использует основные тригонометрические тождества, раскладывает на множители. Надо выделить все выражение.
Раскрытие выражений – команда Развернуть. Выделяем все выражение. Будут раскрыты все скобки, приведены подобные и результат будет записан в виде многочлена по возрастанию степеней.
Символьное дифференцирование – команда Переменная –Дифференцировать. Для этой команды надо выделить переменную, по которой будет выполняться дифференцирование.
Символьное интегрирование – команда Переменная – Интегрировать. Эта команда используется для вычисления неопределенного интеграла. В выражении надо выделить переменную, по которой производится интегрирование.
Решение уравнений – команда Переменная – Решить. Уравнение вводится с логическим знаком равенства (Ctrl–< = >). В уравнении надо выделить переменную, относительно которой решается уравнение, а затем выбираем эту команду.
Разложение в ряды – команда Переменная – Расширить до ряда. Надо ввести выражение или функцию и выделить переменную, по которой будет производиться разложение в ряд. Затем выбрать команду Переменная – Расширить до ряда. В диалоговом окне можно установить порядок ряда. По умолчанию установлен порядок 6, а максимальный равен 99. После этого надо нажать кнопку ОК.
Нахождение коэффициентов полинома – команда Полиномиальные коэффициенты. Для этой команды надо выделить переменную, по которой требуется разложить выражение в полином, выбрать эту команду. В результате получим вектор, содержащий коэффициенты полинома в порядке возрастания степеней.