19. Движение твердого тела. Момент инерции. Момент инерции твердых тел разной формы.

Движение твердого тела при котором все точки прямой 00’ жёстко связаны с телом остаются неподвижными называется движение тела вокруг неподвижной оси вращения.

Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс л материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси: I=mr²

Система материальных точек

Для твёрдого тела

20. Теорема Штейнера.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции Jc относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы т тела на квадрат расстояния а между осями:

21. Кинетическая энергия твердого тела, совершающего поступательное и вращательное движение.

Кинетическая энергия вращающегося тела

В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения: где т — масса катящегося тела; vc —скорость центра масс тела; Jc – момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; ш -- угловая скорость тела.

22. Момент силы. Уравнение движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Момент импульса.

Моментом силы относительно неподвижной точки О называется физическая величина М, определяемая векторным произведением радиуса-вектора г, проведенного из точки О в точку Л приложения силы, на силу F(pnc. 27):

, где М— псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от г к F.

Модуль момента силы , где а — угол между г и F; r sin а = / — кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О — плечо силы.

Уравнение представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

Можно показать, что если ось z совпадает с главной осью инерции проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство , где J — главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).

23. Закон сохранения и изменения момента импульса.

Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением: L = [rp] = [r,mv], где г — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку А; р = mv — импульс материальной точки.

Момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость :

Продифференцируем уравнение по времени: т.е.

L = const. - закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.