Метод Гаусса с выбором главного элемента
Основное накопление погрешностей решения в методе Гаусса происходит на этапе приведения системы к треугольному виду. Механизм накопления основной части этой погрешности заключается в привнесении погрешностей вычисления коэффициентов ведущего уравнения в коэффициенты последующих уравнений при исключении каждого очередного неизвестного. Анализ соотношений метода Гаусса показывает, что погрешности вычисления коэффициентов ведущего уравнения привносятся в соответствующие коэффициенты всех последующих уравнений в долях отношений этих коэффициентов к диагональному (главному) коэффициенту ведущего уравнения. В связи с этим привносимая погрешность будет тем меньше, чем меньше доли этих отношений. Поэтому в методе Гаусса с выбором главного элемента на каждом шаге исключения i-го неизвестного в качестве ведущего используется уравнение (с i-го по n-ое), содержащее максимальный по модулю коэффициент – главный элемент. При этом в качестве него может использоваться один из коэффициентов i-го столбца, i-ой строки или всей непреобразованной части матрицы. Первый подход называется выбором главного элемента по столбцу, второй – по строке, а третий – по всей матрице. При использовании двух последних происходит перестановка столбцов матрицы системы. Это приводит к изменению порядка следования компонент вектора неизвестных и требует его восстановления по окончании процесса решения.
В качестве примера применения метода Гаусса можно рассмотреть задачу отыскания решения следующей системы уравнений
при ограничении разрядной сетки вычислений до трёх знаков и с оценкой погрешности получаемого решения.
Поставленная задача будет решаться методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцу.
1. Прямой ход.
а. Выбор главного элемента среди элементов первого столбца
.
б. Нормировка первого уравнения
.
в. Исключение элементов первого столбца
.
г. Выбор главного элемента среди элементов второго столбца второго и третьего уравнений
.
д. Нормировка второго уравнения
.
е. Исключение элементов второго столбца
.
ё. Нормировка последнего уравнения
.
2. Обратный ход
,
.
В итоге получено решение системы уравнений
.
3. Погрешность найденного решения.
а. Пересчёт вектора правых частей системы
б. Формирование системы уравнений, определяющей погрешности решения
,
то есть
в. Решение системы относительно погрешностей оно выполняется аналогично пунктам 1 и 2. Прямой ход (пункт 1) даёт следующую систему с верхней треугольной матрицей
,
а обратный ход позволяет получить решение
.
г. Оценка абсолютной и относительной погрешностей решения системы линейных алгебраических уравнений
,
,
.
Реализация описанного метода без нахождения погрешности решения в рамках программы Excel приведена на рис.1.
Рис.1.
Итерационные методы. К этим методам относятся метод простых итераций, метод Зейделя и ряд других. Методы этой группы обладают высокой эффективностью, но их применение связано с рядом ограничений, накладываемых на свойства матрицы A.