6. Піднесення до степеня і добування кореня.

Означення: п - им степенем числа а називають добуток п однакових співмножників кожен з яких дорівнює а. , п > 1.

Так як піднесення до степеня це частинний випадок дії множення, то всі властивості степеня випливають із властивостей множення.

Означення: Якщо п = 1, то а¹= а. Якщо п = 0, то а⁰ = 1.

Остання рівність не розповсюджується на випадок, коли а = 0. Символ 0⁰ вважається таким, що не має смислу.

Дії над степенями

1. Множення.

Теорема: Для натуральних т і п має місце рівність: а^т а^п = а^т+п .

Доведення:

За Означенням т - ого і п - ого степенів маємо

2. Піднесення до степеня (довести самостійно).

Теорема: Для натуральних т і п має місце рівність .

3. Ділення степенів.

Теорема: Для натуральних т і п таких, що т п має місце рівність: .

Доведення:

Знайдемо добуток двох чисел , за правилом множення і Означенням різниці.

4. Піднесення добутку до степеня (довести самостійно).

Теорема: Для натуральних а, в, т має місце рівність .

5. Піднесення частки до степеня (довести самостійно).

Теорема: Для натуральних а, в, т має місце рівність .

Усі формули справедливі і при п = 0, т = 0, п = т = 0.

Означення: Добуванням кореня називається дія, обернена піднесенню до степеня, за рахунок якої за даним степенем і даним показником степеня знаходять основу степеня.

У цьому випадку даний степінь — підкореневе число; показник степеня – показник кореня; основа степеня — корінь.

Якщо а - підкореневе число, п -показник кореня, в - корінь, то маємо: . Таким чином за Означенням маємо: Якщо , то в^п= a, або , .

Теорема: На множині натуральних чисел добування кореня можливе тоді і тільки тоді, коли підкореневе число є степенем натурального числа з показником степеня, що дорівнює показнику кореня.

Доведення:

Дійсно із рівності , де в - натуральне число, випливає рівність а = в^п І навпаки із цієї рівності випливає попередня. Єдиність кореня отримуємо із монотонності дії множення.

7. Деякі властивості арифметичний дій, що виражені рівностями.

Теорема 1: Щоб додати до суми якесь число, досить додати це число до одного із доданків залишивши без зміни решту.

Теорема 2: Щоб до числа додати суму чисел, досить до цього числа додати перший доданок, потім до результату другий і т.д. поки не буде вичерпана сума.

Доведення цих теорем випливає із законів комутативності і асоціативності додавання.

Теорема 3: Щоб до числа додати різницю, досить до цього числа додати зменшуване і від результату відняти від'ємник.

Доведення:

Доведемо: с + (а - в) = (с + а) - в. За властивістю симетричності відношення рівності запишемо властивість у такому вигляді (с + а) - в = с + (а - в). Так як ми маємо різницю, то додавши її до від’ємника маємо отримати зменшуване, тобто число (с + а). с + (а - в) + в = с + в +(а - в) = с + а, використавши Означення віднімання, комутативний закон додавання. Отримали зменшуване, що і потрібно було довести.

Теорема4: Щоб від числа відняти суму, досить від цього числа відняти перший доданок, потім від результату другий і т.д., поки не буде вичерпано усю суму.

Теорема5: Щоб відняти число від суми, досить відняти це число від якого-небудь доданка, залишивши решту без зміни.

Теорема6: Щоб від числа відняти різницю досить від цього числа відняти зменшуване і до результату додати від’ємник , або досить до цього числа додати від’ємник і від результату відняти зменшуване .

Доведення. У лівій частині маємо різницю. Щоб виконувалась ця рівність перевіримо виконання означення. Додамо різницю і від’ємник. Маємо отримати зменшуване: (за сполучним законом додавання) (за означенням віднімання) (за означенням віднімання) . Отримали зменшуване. Що і треба було б довести. Аналогічно доводиться друга рівність.

Теорема7: Щоб помножити число на добуток, досить це число помножити на перший множник, потім отриманий результат на другий і т.д., поки не будуть вичерпані усі співмножники.

Теорема8: Щоб помножити добуток на число, досить помножити на це число який-небудь співмножник, залишивши решту без зміни.

Теорема9: Щоб поділити суму на яке-небудь число, досить поділити на це число кожен доданок і результати додати тобто .

Доведення. Якщо це так, то добуток частки на дільник має дорівнювати діленому. За розподільним законом маємо: (останнє за означенням ділення).

Теорема10: Щоб поділити різницю на яке-небудь число, досить поділити на це число зменшуване, потім від’ємник і від першого результату відняти другий.

Теорема11: Щоб поділити яке-небудь число на добуток досить поділити це число на перший співмножник, отриманий результат – на другий і т.д., поки не будуть вичерпані усі співмножники .

Ці теореми доводяться на основі означення ділення і основних законів.

Теорема12: Щоб поділити добуток на яке-небудь число, досить поділити на це число який-небудь співмножник, залишивши решту без зміни. .

Доведення: Доведемо рівність . Скористаємося означенням ділення і доведемо, що . За комутативним і асоціативним законами, а потім за означенням дії ділення матимемо: . Дві інші рівності доводяться аналогічно.